Читать реферат по математике: "Комплексні числа Поняття про комплексне число" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Реферат на тему:

Комплексні числа

Означення уявної одиниці. Розширення множини дійсних чисел. Поняття про комплексне число. У багатьох розділах математики та її застосуваннях неможливо обмежитися розглядом лише дійсних чисел. Вже досить давно під час розв’язування різних задач виникла потреба добувати квадратний корінь з від’ємних чисел. Але чисел, які при піднесенні до квадрата дають від’ємні числа, тоді не знали і тому вважали, що квадратні корені в від’ємних чисел не існують, тобто задачі, які до них приводять, не мають розв’язків. Зокрема, так було під час розв’язання квадратних рівнянь з від’ємним дискримінантом, наприклад:

.

Тому природно постало питання про розширення множини дійсних чисел, приєднанням до неї нових так, щоб у розширеній множині, крім чотирьох арифметичних дій – додавання, віднімання, множення і ділення (за винятком ділення на нуль), можна було виконувати дію добування кореня. Це питання було успішно розв’язане лише у ХІХ ст.

Оскільки існує вимога, щоб у новій числовій множині рівняннямало розв’язок, необхідно ввести деяке нове число, вважаючи його розв’язком цього рівняння. Число, квадрат якого дорівнює –1, позначають буквою і і називають уявною одиницею (і – перша буква латинського слова imaginarius – уявний). Підкреслимо, що рівністьприймається за означенням і не доводиться. До нової множини мають належати числа виду(добуток дійсного числа на уявну одиницю) і числа виду(сума дійсного числаі добутку дійсного числана уявну одиницю).

Отже, нова множина чисел повинна містити всі числа виду . Числа виду , деі- довільні дійсні числа, а- уявна одиниця називають комплексними. Слово “комплексний” означає складений. Числоназивають дійсною частиною комплексного числа , а вираз- уявною.

Числоназивають коефіцієнтом при уявній частині.

Два комплексних числаі= рівні між собою тоді і тільки тоді, колиі , тобто коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявних частинах.

Поняття “більше” і “менше” для комплексних чисел не має смислу. Ці числа за величиною не порівнюють.

Важливим є поняття про спряжені комплексні числа. Числата , дійсні частини яких рівні, а коефіцієнти при уявних частинах рівні за модулем, але протилежні за знаком, називають спряженими. Можна сказати простіше: числаі , які відрізняються лише знаком уявної частини, називаються спряженими.

Вивчаючи комплексні числа, можна використовувати геометричну термінологію і геометричні міркування, якщо встановити взаємно однозначну відповідність між множиною комплексних чисел і множиною точок координатної площини. Цю відповідність можна встановити так. Кожному комплексному числупоставимо у відповідність точкукоординатної площини, тобто точку, абсциса якої дорівнює дійсній частині комплексного числа, а ордината – коефіцієнту уявної частини. Кожній точці координатної площини поставимо у відповідність комплексне число(мал. 1). Очевидно, що така відповідність є взаємно однозначною. Вона дає можливість інтерпретувати комплексні числа як точки деякої площини, на якій вибрано систему координат. Координатну площину називають при цьому комплексною, вісь абсцис – дійсною віссю, бо на ній розміщені точки, що відповідають комплексним числам ,

Похожие работы