Читать реферат по математике: "Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

При решении многих физических и геометрических задач приходится искать неизвестную функцию по данному соотношению между неизвестной функцией, ее производными и независимыми переменными. Такое соотношение называется дифференциальным уравнением, а отыскание функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению, называется решением дифференциального уравнения.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство

,(1)

в котором- независимая переменная, изменяющаяся в некотором отрезке , а- неизвестная функция y(x) и ее первые n производные.

Число называется порядком уравнения.

Задача заключается в нахождении функции y, удовлетворяющей равенству (1). Более того, не оговаривая это отдельно, будем предполагать, что искомое решение обладает той или иной степенью гладкости, необходимой для построения и «законного» применения того или иного метода.

Различают два типа обыкновенных дифференциальных уравнений

- уравнения без начальных условий

- уравнения с начальными условиями.

Уравнения без начальных условий - это уравнение вида (1).

Уравнение с начальными условиями - это уравнение вида (1), в котором требуется найти такую функцию , которая при некоторомудовлетворяет следующим условиям:

,

т.е. в точкефункцияи ее первыепроизводных принимают наперед заданные значения.

Задачи Коши

При изучении способов решения дифференциальных уравнений приближенными методами основной задачей считается задача Коши.

Рассмотрим наиболее популярный метод решения задачи Коши – метод Рунге-Кутта. Этот метод позволяет строить формулы расчета приближенного решения практически любого порядка точности.

Выведем формулы метода Рунге-Кутта второго порядка точности. Для этого решение представим куском ряда Тейлора, отбрасывая члены с порядком выше второго. Тогда приближенное значение искомой функции в точке x1 можно записать в виде:

(2)

Вторую производную y"(x0) можно выразить через производную функции f(x,y), однако в методе Рунге-Кутта вместо производной используют разность

соответственно подбирая значения параметров

Тогда (2) можно переписать в виде:

y1=y0 + h [β f(x0,y0) + α f(x0 + γh, y0 + δh)],(3)

где α, β, γ и δ – некоторые параметры.

Рассматривая правую часть (3) как функцию аргумента h , разложим ее по степеням h:

y1=y0 +( α+ β) h f(x0,y0) + αh2[γ fx(x0, y0) + δ fy(x0, y0)],

и выберем параметры α, β, γ и δ так, чтобы это разложение было близко к (2). Отсюда следует, что

α + β =1, αγ=0,5, α δ =0,5 f(x0,y0).

С помощью этих уравнений выразим β, γ и δ через параметры α, получим

y1=y0 +h[(1 - α) f(x0,y0) + α f(x0+, y0+f(x0, y0)],(4)

0 < α ≤ 1.

Теперь, если вместо (x0,y0) в (4) подставить (x1,y1), получим формулу для вычисления y2 – приближенного значения искомой функции в точке x2.

В общем случае метод Рунге-Кутта применяется на произвольном разбиении отрезка [x0,X] на n частей, т.е. с переменным шагом

x0, x1, …,xn; hi = xi+1 – xi, xn = X.(5)

Параметры α выбирают равными 1 или 0,5. Запишем окончательно расчетные формулы метода Рунге-Кутта второго порядка с переменным шагом для α =1:

yi+1=yi +hi f(xi +, yi+f(xi, yi)),(6.1)

i = 0, 1,…, n-1.

и α =0,5:

yi+1=yi + [f(xi , yi) + f(xi+ hi, yi+ hi f(xi , yi))],(6.2)

i = 0, 1,…, n-1.

Наиболее употребляемые

Похожие работы