Читать реферат по математике: "Тождественные преобразования показательной и логарифмической функций" Страница 7

(Назад) (Cкачать работу)

Согласно данному определению корень -ой степени из числа– это решение уравнения . Число корней этого уравнения зависит оти . Рассмотрим функцию . Как известно, на промежуткеэта функция при любомвозрастает и принимает все значения из промежутка . По теореме о корне уравнение для любогоимеет неотрицательный корень и при том только один. Его называют арифметическим корнем -ой степени из числаи обозначают ; числоназывают показателем корня, а само число– подкоренным выражением. Знакназывают так же радикалом.

Определение: Арифметическим корнем -ой степени из числа называют неотрицательное число, -я степень которого равна .

При четныхфункция четна. Отсюда следует, что если , то уравнение , кроме корня , имеет также корень . Если , то корень один: ; если , то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень любого числа неотрицательна.

При нечетных значенияхфункция возрастает на всей числовой прямой; её область значений – множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнениеимеет один корень при любоми, в частности, при . Этот корень для любого значенияобозначают .

Для корней нечетной степени справедливо равенство . В самом деле, , т.е. число – есть корень -й степени из . Но такой корень при нечетномединственный. Следовательно, .

Замечание 1.Для любого действительногоЗамечание 2.Удобно считать, что корень первой степени из числаравен . Корень второй степени из числаназывают квадратным корнем, а корень третьей степени называют кубическим корнем.

Напомним известные свойства арифметических корней -ой степени.

Для любого натурального , целогои любых неотрицательных целых чиселисправедливы равенства:

1. .

2. .

3. .

4.

5. . Перейдём к введению степени с рациональным показателем.

Выражениеопределено для всехи , , кроме случаяпри . Напомним свойства таких степеней.

Для любых чисел ,и любых целых чиселисправедливы равенства:

Отметим так же, что если , топриипри

Определение: Степенью числа с рациональным показателем , где– целое число, а– натуральное , называется число .

Итак, по определению .

При сформулированном определении степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница заключается в том, что свойства верны только для положительных оснований). §2. Показательная функция. Это функция вида(,). Для неё , ,, и при график имеет такой вид:При вид графика такой:

Число называется основанием показательной функции. Область определения функции – вся числовая прямая. Область значения функции – множество всех положительных чисел. Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле

(ax) =axlna

При а>1 функция монотонно возрастает, при а1. При 01 график логарифмической функции – кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0

Похожие работы