Читать реферат по математике: "Аналитическая геометрия" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

299496ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

Пусть задана система векторов а1, а2, а3,…,ал (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство 1а1+2а2+…+лал=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа 1, 2,…, л=0 и R

Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном i0 (i=1,…,k)

Свойства

Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависимаЕсли система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число , что b=a.

Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.

Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=a. Будем считать, что а,b0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-a=0. Т.к. коэфф. При b0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. а+b=0, 0. а= -b/*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.

Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.

Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то а+b+c=0, 0. с= - /*а - /*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.

БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы.

В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора.

В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару.

В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов.

2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.

(а,b)=|a| |b| cos u, u90, пр-е отриц.

Свойства:

(а,b)= (b,а)(а,b)=  (а,b)(а+b,с)= (а,с)+ (b,с)(а,а)=|a|2 – скал.квадрат.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.

Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.

Определение: базис

Похожие работы