Читать реферат по математике: "Современные качественные исследования устойчивости" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Современные качественные исследования устойчивости

И.А. Колесникова

Российский университет дружбы народов

О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами

Исследована задача существования вариационных принципов для дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами вида

1. Постановка задачи. Пусть N – оператор, заданный в области D(N) линейного нормированного пространства U над полем действительных чисел R, а область значений R(N) принадлежит линейному нормированному пространству V над полем R, т.е.

В дальнейшем всюду предполагается, что в каждой точке

существует производная Гатооператора N, определяемая формулой

(1)

Решается задача существования вариационных принципов для заданных ДУЧП с отклоняющимися аргументами вида

(2)

где -ограниченная область в, с кусочногладкой границей

в предположении достаточной гладкости всех рассматриваемых функций.

Зададим область определения оператора N равенством

(3)

Здесь - заданные функции,- неизвестная функция. Числа зависят соответственно от . Если - четны, то При нечетномполагаем

Обозначим

Введем классическую билинейную форму вида где(4)

Будем говорить, что уравнение (2) допускает прямую вариационную формулировку на множестве D(N), относительно билинейной формы (4), если существует функционал FN: D(FN )=D(N)—>R такой, что Функционал FN называется потенциалом оператора N, а N – градиентом функционала FN. Записывают N=gradфFN. Оператор N называется потенциальным на множестве D(N) относительно Ф.

Обозначая через замыкание области , будем предполагать, что - выпуклое множество, , для любых фиксированных элементов функция

Как известно [2., стр.15], необходимым и достаточным условием потенциальности оператора N на множестве D(N) относительно заданной формы является условие симметричности Искомый функционал в этом случае имеет вид:

где F0 произвольный фиксированный элемент из R.

Для уравнения вида (2) устанавливается, что существует вариационный принцип в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда справедлива

Теорема 1. Для потенциальности оператора (2) на множестве (3) относительно билинейной формы (4) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

Современные качественные исследования устойчивости

Доказательство теоремы может быть проведено по схеме изложенной в работе [1, стр.43].

2.Примеры.

А. Рассматривается дифференциальное уравнение с отклоняющимися аргументами вида (частный случай уравнения (2))

с граничными условиями

Для решения вопроса о вариационности задачи (7),(8) воспользуемся теоремой 1. Из условий (6) получим Отсюда заключаем, что в случае потенциальности рассматриваемого оператора коэффициенты a-1, a 0 ,a 1 могут зависеть только от x, а b-1, b0, b1 – только от t.

С учетом условий (9), уравнение (7) может быть записано в виде

Таким образом, уравнение (7’) c граничными условиями (8) допускает вариационную формулировку.

Соответствующий функционал имеет вид В. Рассматривается уравнение

где a,b – const, u – неизвестная функция с граничными условиями Для оператора задачи(10),(11) условия (6) не выполняются. В этой связи рассматривается следующая задача.

Найти функцию [2] М=М(x,t,u,ui) в Ω для любого u из D(N) и соответствующий функционал F[u] так,

Похожие работы