Читать реферат по физике: "Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

fk/t]field + fk/t]diff = 0.(41) Отметим, что здесь рассматривается стационарное, но не обязательно равновесное состояние. Для последнего функция распределения обозначается через f0k, оно осуществляется только в отсутствие полей и градиентов температуры. Допустим, однако, что рассматриваемое стационарное распределение не слишком сильно отличается от равновесного.Положим gk = fk – f0k.(42) где f0k = 1/{exp[(E k – )/kT] + 1}(43) Здесь нужно проявить некоторую осторожность. Именно, как определить функцию f0k в случае, когда температура зависит от координат? Будем считать, что в каждой точке можно корректно определить локальную температуру T(r), и положим gk(r)=fk(r) – f0k{3T(r)}.(44) Если введение локальной температуры вызывает затруднения, можно потребовать, чтобы окончательное решение удовлетворяло какому-либо дополнительному условию, например gk(r)dk = 0.(45) Подставляя выражение (42) в кинетическое уравнение (41) и используя равенства (7.2) и (7.5), получаем – vkfk /r – e /ħ(E + 1/c[vk  H]) fk /k = – fk /t]scatt ,(46) или – vkfk /T T – e /ħ(E + 1/c[vk  H])  f0k /k = – fk /t]scatt + vkgk /r + e /ħ(E + 1/c[vk  H]) gk /k.(47) С помощью формулы (43) это уравнение можно переписать в виде (f0 /E)vk{( E (k) – ) / TT + e (E – 1/e)} = – fk /t]scatt + vkgk /r + e /ħc[vk  H] gk /k.(48) Это — линеаризованное уравнение Больцмана. В нем опущен член (Egk /k) порядка E2, соответствующий отклонениям от закона Ома. Отброшен также член vk [vk  H], тождественно равный нулю; в левую часть уравнения магнитное поле явно не входит. Подставляя выражение (40) в уравнение (48), можно убедиться, что мы получили линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно «добавки» gk(r) к функции распределения. Функция gk(r) определяется интенсивностью электрического поля и величиной градиента температуры, входящимив неоднородный член в левой части. Далее в этой главе мы будем отыскивать решения кинетического уравнения для различных случаев в порядке увеличения сложности. § 7. Электропроводность Пусть на систему наложено только электрическое поле E, и в «бесконечной» среде поддерживается постоянная температура. С учетом выражения (40) получаем (– f0 /E)vkeE = – (f0 /t)]scatt = (fk– fk)Q(k,k)dk= (gk– gk)Q(k,k)dk(49) Это есть простое интегральное уравнение для неизвестной функции gk. Вместо того чтобы, непосредственно решать его, сделаем феноменологическое предположение: – fk /t]scatt = gk/(50) Тем самым мы вводим время релаксации . При выключении поля любое отклонение gk от равновесного распределения будет затухать по закону – gk /t = gk/,(51) или gk(t) = gk(0)e – t /  .(52) Подставляя определение (50) в уравнение (49),находим gk = (– f0 /E) vkeE(53) Чтобы найти электропроводность, вычислим соответствующую плотность тока(54) Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во внимание, что f0kevk(r)dk  0, использованы также формулы для преобразования объемного интеграла в k-пространстве в интеграл по изоэнергетическим поверхностям и по энергии. В металле функция (– f0 /E) ведет себя как -функция от (E – ), поэтому остается только проинтегрировать по поверхности Ферми. Таким образом,(55) Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой J = E,(56) где  – тензор. Получим(57) Обычно имеют