Читать реферат по педагогике: "Кольца и полукольца частных" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

СодержаниеВведение 2 Глава 1. 3 Глава 2 7 Глава 3. 16 Библиографический список 19

В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.

В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.

Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.

Непустое множествос определёнными на нём бинарными операциямии называется коммутативным полукольцом, если выполняется следующие аксиомы:

A1.- коммутативная полугруппа с нейтральным элементом , т.е.

1);

2)

3)

А2.- коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1, т.е.

1);

2)

3)

А3. умножение дистрибутивно относительно сложения:

, .

А4..

Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.

Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:

Рассмотрим пары неотрицательных целых чисел .

Будем считать парыиэквивалентными, если , получим разбиение множества пар на классы эквивалентности.

Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.

Определение1. Элементназовём мультипликативно сокращаемым, если для из равенства следует, что .

Обозначим черезмножество всех мультипликативно сокращаемых элементов.

Утверждение1.Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.

Пусть - делитель нуля, т.е.для некоторого . Тогда , но не является мультипликативно сокращаемым. ▲

Пусть- коммутативное полукольцо с возможностью сокращения на элементы из . Рассмотрим множество упорядоченных пар . Введём отношение на :для всехи .

Предложение1. Отношение является отношением эквивалентности на .

Покажем, что является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.

1.Рефлективность: в силу коммутативности полукольца;

2. Симметричность: ;

3.Транзитивность: Таким образом, отношение является отношением эквивалентности на .

Полукольцоразбивается на классы эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые находятся в отношении . Обозначимкласс эквивалентности пары . Введём операции на множествевсех классов эквивалентности: т.к. для, ,выполненоотсюда т.к.получаеми посколькутоследовательно .

Покажем корректность введённых операций:

Пусть , , тогда

▲

Теорема1. - коммутативное полукольцо с 1. .

Доказательство.

Чтобы доказать, что множествовсех классов эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать замкнутость на нём операций:

сложение: дляи

1.

2.

Так как правые части равны, то левые части тоже равны:

3. покажем, что для.

Так как

Классявляется нейтральным по +:Из равенстватогда .

Длясоставляет отдельный класс, играющий вроль нуля.

умножение: дляи

1.

2.

Из равенства правых частей следует, что

3. покажем, что для.

Пусть

Классявляется нейтральным по

Похожие работы