Читать реферат по математике: "СВОЙСТВА РАВНОГРАННОГО ТЕТРАЭДРА" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

  Любой тетраэдр имеет 4 вершины, 6 рёбер, 4 грани, 4 трёхгранных угла, 6 двугранных углов, 12 плоских углов. Если все 6 рёбер равны, то равными будут и грани, и трёхгранные углы, и плоские; в этом случае тетраэдр - правильный. Из равенства всех 4 граней, однако, ещё не следует правильность тетраэдра; тетраэдр, у которого все грани равны, называется равногранным. Чтобы представить себе равногранный тетраэдр, отличный от правильного, возьмём произвольный остроугольный треугольник из бумаги и будем сгибать его по средним линиям. Тогда три вершины сойдутся в одну точку, а половинки сторон сомкнутся, образуя боковые рёбра тетраэдра

Существует целый ряд свойств тетраэдра, каждое из которых является необходимым и достаточным условием равногранности:

(0) Грани равны

(1) Скрещивающиеся рёбра попарно равны   

(2) Трёхгранные углы равны

(3) Противолежащие двугранные углы равны

(4) Два плоских угла, опирающиеся на одно ребро, равны

(5) Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180

(6) Развёртка тетраэдра - треугольник или параллелограмм

(7) Описанный параллелепипед - прямоугольный

(8) Тетраэдр имеет три оси симметрии

(9) Общие перпендикуляры скрещивающихся рёбер попарно перпендикулярны

(10) Средние линии попарно перпендикулярны

(11) Периметры граней равны

(12) Площади граней равны

(13) Высоты (тетраэдра) равны

(14) Отрезки, соединяющие вершины с центром тяжести противоположных граней, равны

(15) Радиусы описанных около граней окружностей равны

(16) Центр тяжести (тетраэдра) совпадает с центром описанной сферы

(17) Центр тяжести (тетраэдра) совпадает с центром вписанной сферы

(18) Центр вписанной сферы совпадает с центром описанной

(19) Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около них окружностей

(20) Сумма внешних единичных векторов, перпендикулярных к граням, равна 0.  

(21) Сумма косинусов всех двугранных углов равна 2

Эти условия являются одновременно и свойствами и признаками равногранного тетраэдра. Чтобы вывести равногранность из какого-нибудь условия, надо выстроить целую цепочку промежуточных условий, в которой каждое прямое следствие предыдущего

Проще всего устанавливается, что (0)(1)(2)(3)(4)

Докажем (0)(1)

(0)=>(1)

По условию все грани тетраэдра АВС D равны. Рассмотрим треугольники А D В и D АС: А D – общая, тогда АВ равна либо D С (если так, то из равенства треугольников А D В и D АС следует АС= D В; а из равенства треугольников А D В и СВ D следует А D =ВС, т.е. скрещивающиеся рёбра попарно равны), либо АС (если так, то из равенства треугольников А D В и D АС следует D В= D С, т.е. треугольник – равнобедренный, а остальные – нет, т.е. противоречие)       

(0)(5)=>(6)=>(1) (откуда уже следует равносильность первых шести условий)

Докажем (4)=>(5)

Из условия следует, что углы ADB = ACB , ADC = ABC , BDC = BAC . Тогда треугольники ABC , ADC , ADB , BCD подобны, но треугольники ADB и DAC имеют общую сторону, т.е. они равны, аналогично равны между собой и остальные треугольники, т.е. тетраэдр – равногранный

Докажем (5)=>(6)

Разрежем тетраэдр АВС D по рёбрам АВ, АС, А D и рассмотрим развёртку А 1 ВА 2 D А 3 С, тогда в точках В, С и D приложены по три угла, сумма которых 180°, поэтому углы А 1 ВА 2 , А 2 ОА 3 , А 3 СА 1 — развер­нутые;

Похожие работы