Читать реферат по математике: "МНОЖЕСТВО И РАССТОЯНИЕ В НЁМ" Страница 1

назад (Назад)скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

11

СОДЕРЖАНИЕВВЕДЕНИЕ 2МНОЖЕСТВО И РАССТОЯНИЕ В НЁМ. 3ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В 4СФЕРА . 6НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СФЕРЫ . 7СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 11

ВВЕДЕНИЕ

Многие величины, представляющие интерес, зависят не от одного, а от очень многих факторов, и если сама величина и каждый из определяющих его факторов могут быть охарактеризованы некоторым числом, то указанная зависимость сводится к тому, что упорядоченному наборучисел, каждое из которых описывает состояние соответствующего фактора, становится в соответствие значениеисследуемой величины, которое она приобретает при этом состоянии определяющих величину факторов.

Например, площадь прямоугольника есть произведение длин его сторон; объём данного количества газа вычисляется по формуле

,

где– постоянная,– масса,– абсолютная температура и– давление газа. Таким образом, значениезависит от переменной упорядоченной тройки чиселили, как говорятесть функция трёх переменных .

Мы ставим себе целью научиться исследовать функции многих переменных так же, как мы научились исследовать функции одного переменного.

Как и в случае функции одного переменного, изучение функции многих числовых переменных начинается с описания их области определения.

МНОЖЕСТВО И РАССТОЯНИЕ В НЁМ.

Условимся черезобозначать множество всех упорядоченных наборов , состоящих издействительных чисел.

Каждый такой набор будем обозначать одной буквойи в соответствии с удобной геометрической терминологии называть точкой множества .

Числов набореназывают -й координатой точки .

Геометрические аналогии можно продолжить и ввести на множестверасстояние между точками ,по формуле

(1)

Функция

,

определяемая формулой (1), очевидно, обладает следующими свойствами:

    ; ; ; .

Последнее неравенство (называемое опять-таки по геометрической аналогии неравенством треугольника) есть частный случай неравенства Минковского.

Функцию, определённую на парахточек некоторого множестваи обладающую свойствами a), b), c), d), называют метрикой или расстоянием в .

Множествовместе с фиксированной в нём метрикой называют метрическим пространством.

Таким образом, мы превратилив метрическое пространство, наделивметрикой, заданной соотношением (1).

Из соотношения (1) следует, что при

(2)

т. е. расстояние между точкамимало в том и только в том случае, когда мало отличаются соответствующие координаты этих точек.

Из (2), как и из (1), видно, что примножествосовпадает с множеством действительных чисел, расстояние между точками которого измеряется стандартным образом посредством модуля разности чисел.

ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА В

Определение 1. Примножество

называется шаром с центромрадиусаили также -окрестностью точки .

Определение 2. Множествоназывается открытым в , если для любой точкинайдётся шартакой, что .

Пример 1.– открытое множество в .

Пример 2.– пустое множество – вообще не содержит точек и потому может считаться удовлетворяющим определению 2, т. е.– открытое множество в .

Пример 3. Шар– открытое множество в .

Действительно, если , т. е. , то прибудет , поскольку

.

Пример 4. Множество , т. е. совокупность точек, удалённых от фиксированной


Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы