Читать реферат по математике: "НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ БИНАРНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Содержание

Предварительные сведения о бинарных квадратичных формах

О периодах неопределенных бинарных квадратных форм

Об оценке сверху числа приведенных неопределимых

бинарных квадратичных форм

О диагональных формах и оценке снизу числа классов в ряде

Список литературы

            Основоположником теории квадратичных форм является французский математик Лагранж.   Им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта

Начинается арифметическая теория квадратичных форм с утверждения Ферма о существовании простых чисел   суммой двух квадратов

            Теория квадратичных форм продолжала развиваться. Гаусс также вводит много новых понятий. Гауссу сумел получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел

            В данной работе исследуются предварительные общие сведения о бинарных квадратичных формах. Приведено элементарное доказательство известной оценки для числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Здесь рассмотрены периоды неопределенных квадратичных форм, также решены два вопроса о двусторонних формах. Также приведены доказательства, что диагональные формы одного и того же положительного дискриминанта не эквивалентны

Предварительные сведения о бинарных квадратичных форм

            Определим общие понятия и свойства, которые прямым образом касаются бинарных квадратичных форм

Однородный многочлен второй степени от двух переменных называется бинарной квадратичной формой:

                                                (1)

где - вещественные числа

Соответственно используемые коэффициенты в данной формуле - являются первым, вторым и третьим коэффициентами

Для наглядности эту формулу будем обозначать через , получим:

В теории форм над кольцами и в первую очередь над кольцом   целых чисел более предпочтительной является запись вида (1)

В теории квадратичных форм над полями приведены формы, у которых второй коэффициент без множителя , т.е

Если в бинарной квадратичной форме (1) коэффициенты   являются целыми числами, тогда эту форму называют классической целой или целочисленной по Гауссу

            В данной работе классические квадратичные формы будем называть численными

Если существует линейная подстановка переменных (2) с целыми коэффициентами   и определителем , переводящая форму   в форму , такая, что выполняется равенство

, (3)

  тогда бинарные целочисленные квадратичные формы   и   называются собственно эквивалентными,

Иначе, если целочисленная подстановка (2) с определителем     переводит форму   в форму , бинарные квадратичные формы называются несобственно-эквивалентными

  Полученные эквивалентные формы обозначим следующим образом: ~

            Из (2) и (3) вытекают соотношения, связывающие коэффициенты двух эквивалентных форм   и                                                   (4)

Эквивалентные бинарные квадратичные формы имеют один и тот же дискриминант, т.е. число   бинарной квадратичной формы

Предположим, что   собственно или несобственно

Похожие работы