- 1
- 2
НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С НЕСКОЛЬКИМИ ОСОБЕННОСТЯМИ
Дадим определение сначала несобственному интегралу
Пусть w собственная или правая несобственная точка числовой прямой. Функция f : [ a ; w ) R интегрируема по Риману на любом отрезке [ a , b ] Î [ a , w )
Тогда, если существует:
То его величина обозначается
Такой интеграл называется несобственным интегралом функции f на промежутке [ a , w )
Если предел не существует или равен бесконечности, то говорят,что данный интеграл расходится. Если предел существует и равен конечному числу, то говорят, что данный интеграл сходится
Если функция f неотрицательна и непрерывна на промежутке [ a , b ) ( b может быть бесконечным), то несобственный интеграл равен площади неограниченного открытого множества G ={( x , y ): a < x < b ,0< y < f ( x )}
Аналогично определяется несобственный интеграл на полуинтервале ( a , b ]
Если функция определена на интервале ( a , b ) и неограниченна в точках a и b и при некотором выборе точки с ( a , b ) существуют несобственные интегралы на полуинтервалах ( a , c ] и[ c , b ), c Î ( a , b )
При этом существование и значение данного интеграла не зависит от выбора точки с . Тогда Y
f ( x ) 0 a k c l b X Это и есть несобственный интеграл с двумя особенностями
Если функция f :< a , b > R имеет на промежутке < a , b > конечное число особых точек и Т: a = k 1< k 2, что на каждом из< ki , ki +1>, i =1 ¸ n , особой точкой функции является только одна из концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов c ходится :
то
сходится
Аналогично, интеграл расходится, значит
расходится
Это означает то, что данный интеграл либо имеет бесконечную величину либо не имеет конкретного значения
На рисунка представлен несобственный интеграл с несколькими особенностями
Y
f ( x ) 0 a = k 1 k 2……… ki ……. kn -1 kn = b (+ в данном случае) Рассмотрим несколько примеров
Пример 1.
Приведем пример, на котором отчетливо можно проследить разницу между понятием «предел не существует» и «предел равен бесконечности». Интеграл расходится при b
На рисунке видно, что в зависимости от значения b площадь под графиком принимает значения от 0 д2. Однако b не определена конкретно, значит не существует и предел Y
1
+ + + b ? b ? X
0 p - 2 p - - b ? b ? ( )
Пример 2
На концах отрезка [0,2] подынтегральная функция определена. Но x =1 является особой точкой
Прежде чем решать этот интеграл, следует проверить на сходимость следующие интегралы:Сначала рассмотрим
F ( b )= ln [(1- x )/(1+ x )] не имеет предела при b 1 значит исходный интегралы расходятся
Но следует заметить, что прежде чем исследовать несобственный интеграл на сходимость,
- 1
- 2
Похожие работы
Тема: Неопределенный интеграл |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Интеграл Пуассона |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Интеграл Лебега |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Двойной интеграл |
Предмет/Тип: Математика (Доклад) |
Тема: Определенный интеграл |
Предмет/Тип: Математика (Контрольная работа) |
Интересная статья: Основы написания курсовой работы