Читать реферат по математике: "НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С НЕСКОЛЬКИМИ ОСОБЕННОСТЯМИ" Страница 1


назад (Назад)скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С    НЕСКОЛЬКИМИ   ОСОБЕННОСТЯМИ

  Дадим определение сначала несобственному интегралу

  Пусть w собственная или правая несобственная точка числовой прямой. Функция f : [ a ; w ) R интегрируема по Риману на любом отрезке [ a , b ] Î [ a , w )

Тогда, если   существует:                

То его величина обозначается  

Такой интеграл называется несобственным интегралом функции f   на промежутке [ a , w )

             Если предел не существует или равен бесконечности, то   говорят,что данный интеграл   расходится. Если предел существует и равен конечному числу, то говорят, что данный интеграл сходится

Если функция   f   неотрицательна   и   непрерывна   на промежутке [ a , b ) ( b может   быть   бесконечным), то несобственный   интеграл равен площади неограниченного открытого множества   G ={( x , y ): a < x < b ,0< y < f ( x )}

Аналогично определяется несобственный интеграл на полуинтервале ( a , b ]

Если   функция    определена   на интервале   ( a , b )   и неограниченна   в точках   a и b   и   при некотором выборе   точки с   ( a , b )   существуют   несобственные   интегралы   на полуинтервалах ( a , c ] и[ c , b ), c Î ( a , b )

При этом существование и значение данного интеграла не зависит от выбора точки   с . Тогда         Y

                                      f ( x )                0            a k             c                 l   b         X Это и есть несобственный интеграл с двумя особенностями

Если функция f :< a , b > R   имеет на промежутке < a , b > конечное число особых точек и   Т:   a = k 1< k 2, что на каждом   из< ki , ki +1>, i =1 ¸ n , особой   точкой функции является только одна из концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов c ходится :

то

сходится

Аналогично, интеграл расходится, значит

расходится

Это означает то, что данный интеграл либо имеет бесконечную величину либо не имеет конкретного значения

На рисунка представлен несобственный интеграл с несколькими особенностями

   Y

                                                                f ( x )         0          a = k 1        k 2……… ki ……. kn -1                               kn = b (+   в данном случае) Рассмотрим несколько примеров

Пример 1.

  Приведем пример, на котором отчетливо можно проследить разницу между понятием «предел не существует» и «предел равен бесконечности». Интеграл    расходится   при   b

На рисунке видно, что в зависимости от значения b площадь под графиком принимает значения от   0   д2. Однако b не определена конкретно, значит не существует и предел     Y

     1

               +                            +                            +       b ?             b ?                 X

     0              p        -         2 p                -                          -      b ?            b ?      ( )

Пример 2

На концах отрезка   [0,2]   подынтегральная   функция определена.   Но   x =1   является особой    точкой

Прежде чем решать этот интеграл, следует проверить на сходимость следующие   интегралы:Сначала   рассмотрим   

F ( b )= ln [(1- x )/(1+ x )]   не имеет предела   при   b 1   значит исходный   интегралы   расходятся

Но следует заметить, что прежде чем исследовать   несобственный интеграл на сходимость,



Интересная статья: Основы написания курсовой работы