Читать реферат по математике: "Метод доказательства «от противного»" Страница 1

назад (Назад)скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

1. Дополнительное построение

Продли медиану

Характеристика метода. Довольно часто, когда в условии задачи фигурирует медиана треугольника, бывает полезным продлить ее за точку, лежащую на стороне треугольника, на отрезок, равный самой медиане. Полученная новая точка соединяется с вершиной (вершинами) исходного треугольника, в результате чего образуются равные треугольники. Равенство соответствующих элементов этих треугольников помогает найти неизвестную величину или доказать предложенное утверждение.

Задача. Докажите, что треугольник является равнобедренным, если совпадают проведенные из одной и той же вершины медиана и биссектриса.

Решение. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 1). Пусть отрезок BM – его медиана и биссектриса. Продлим BM на отрезок MD = BM. Образовались равные треугольники AMB и MCD (1-й признак равенства треугольников).

Из равенства этих треугольников имеем:

(1) AB = CD и (2)  1 =  3.

Используя равенство (2) и то, что  1 =  2 (по условию), получим, что треугольник BCD равнобедренный, а, следовательно, BC = CD. Используя полученный вывод и равенство (1) доказываем, что AB = BC, откуда следует истинность утверждения задачи.

2. Принцип непрерывности

Характеристика метода. Пусть величина k (угол, длина, площадь) зависит от положения точки X на отрезке (ломаной или другой линии). Если при одном положении X на отрезке k < 0, а при другом положении x на отрезке k > 0, то найдется такое положение X на этом отрезке, при котором k = 0.

Задача. В равностороннем треугольнике ABC проведена медиана AA1. Есть ли такая точка X на AA1, из которой отрезок BC виден под прямым углом.

Решение. Будем искать такое положение точки X, при котором  BXC = 90°. Начнем мысленно перемещать точку X по отрезку AA1 от A к A1. Обозначим величину угла BXC за . Когда точка X находится достаточно близко от точки A (рис. 2), тогда  мало отличается от 60°, а поэтому < 90°. Когда точка x находится достаточно близко от (рис. 3), тогда .

мало отличается от 180°, а поэтому > 90°. Значит при каком-то положении точки X на AA1 .

= 90°.

3. Метод доказательства «от противного»

Характеристика метода. Имеем для доказательства утверждения вида A B (A – условие, B – заключение). Суть доказательства данным методом состоит в следующем:

1) Предполагаем, что заключение B не выполняется.2) Путем логических рассуждений приходим к тому, что условие A не выполняется, т. е. получаем противоречие с условием.3) Дальнейший анализ показывает, что причина полученного противоречия кроется в первоначальном предположении.4) Делаем вывод, что это предположение неверно и, следовательно, заключение B выполняется (что и требовалось доказать).

Задача. Какое наибольшее число острых углов может быть в выпуклом многоугольнике?

Решение. Легко показать, что три острых угла в многоугольнике может быть (например, в треугольнике). Все попытки построить какой-нибудь выпуклый n-угольник с четырьмя острыми углами оказываются тщетными. Возникает гипотеза: максимальное количество острых углов выпуклого многоугольника – три. Докажем ее.

1) Пусть найдется выпуклый многоугольник с большим числом углов, например, с четырьмя.2) В этом случае сумма четырех острых углов будет меньше, чем 90°•4 или 180°•2.Сумма же остальных n – 4 углов будет


Интересная статья: Основы написания курсовой работы