- 1
- 2
- 3
- . . .
- последняя »
МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ
. Функции от матриц
Определение функции.
Df. Пусть – функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f(A), т.е. нужно распространить функцию f(x) на матричное значение аргумента
Решение этой задачи известно, когда f(x) – многочлен: , тогда
Определение f(A) в общем случае
Пусть m(x) – минимальный многочлен А и он имеет такое каноническое разложение , , – собственные значения А. Пусть многочлены g(x) и h(x) принимают одинаковые значения
Пусть g(A)=h(A) (1), тогда многочлен d(x)=g(x)-h(x) – аннулирующий многочлен для А, так как d(A)=0, следовательно, d(x) делится на линейный многочлен, т.е. d(x)=m(x)*q(x) (2)
Тогда , т.е. (3), , ,
Условимся m чисел для f(x) таких называть значениями функции f(x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать
Если множество f(Sp A) определено для f(x), то функция определена на спектре матрицы А
Из (3) следует, что многочлены h(x) и g(x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А
Наши рассуждения обратимы, т.е. из (3) Ю (3) Ю (1). Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f(x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т.е. все многочлены g i (x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения g i (A). Потребуем, чтобы определение значения f(A) в общем случае подчинялось такому же принципу
Значения функции f(x) на спектре матрицы А должны полносильно определить f(A), т.е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение f(A). Очевидно, что для определения f(A) в общем случае, достаточно найти многочлен g(x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f(A)=g(A)
Df. Если f(x) определена на спектре матрицы А, то f(A)=g(A), где g(A) – многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f(A),
Df. Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при
Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f(x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f(x) – это остаток от деления любого многочлена g(x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f(x), на минимальный многочлен m(x)=g(x)=m(x)*g(x)+r(x)
Этот многочлен r(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции f(x) на спектре матрицы А
Замечание. Если минимальный многочлен m(x) матрицы А не имеет кратных корней, т.е. , то значение функции на спектре
Пример:
Найти r(x) для произвольной f(x), если матрица
. Построим f(H 1 ). Найдем минимальный многочлен H 1 – последний инвариантный множитель [xE-H 1 ]:
, d n-1 =x 2 ; d n-1 =1;
m x =f n (x)=d n (x)/d n-1 (x)=x n Ю 0 – n –кратный корень m(x), т.е. n-кратные собственные значения H 1
, r(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0) Ю
Свойства функций от матриц.
Свойство № 1. Если матрица имеет собственные значения (среди них могут быть и кратные), а , то собственными значениями матрицы f(A) являются собственные значения многочлена f(x):
Доказательство:
Пусть характеристический многочлен матрицы А имеет вид:
, , . Посчитаем . Перейдем от равенства к определителям:
Сделаем замену в равенстве:
(*)
Равенство (*) справедливо для любого множества f(x),
- 1
- 2
- 3
- . . .
- последняя »
Похожие работы
Тема: Матричный анализ |
Предмет/Тип: Математика (Лекция) |
Тема: Матричный анализ |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Матричный принтер |
Предмет/Тип: Информатика, ВТ, телекоммуникации (Реферат) |
Тема: Эпоксидная смола, как матричный материал |
Предмет/Тип: Детали машин (Реферат) |
Тема: Асимметрический синтез и матричный биосинтез (первоначальное взаимодействие концепций) |
Предмет/Тип: Биология (Статья) |
Интересная статья: Основы написания курсовой работы