Читать реферат по математике: "Математическое программирование" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Математическое программирование

Общая задача линейного программирования (ЗЛП):

Здесь (1) называется системой ограничений , ее матрица имеет ранг r n, (2) - функцией цели (целевой функцией). Неотрицательное решение (х10, x20, ... , xn0) системы (1) называется допустимым решением (планом) ЗЛП. Допустимое решение называется оптимальным, если оно обращает целевую функцию (2) в min или max (оптимум).

Симплексная форма ЗЛП. Для решения ЗЛП симплекс - методом необходимо ее привести к определенной (симплексной) форме:

(2`)f+cr+1xr+1 + ... + csxs + ... + cnxn = b0 min

Здесь считаем r < n (система имеет бесчисленное множество решений), случай r = n неинтересен: в этом случае система имеет единственное решение и если оно допустимое, то автоматически становится оптимальным.

В системе (1`) неизвестныех1, х2, ... , хrназываются базисными (каждое из них входит в одно и только одно уравнение с коэффициентом +1), остальные хr+1, ... , xn - свободными. Допустимое решение (1`) называется базисным (опорным планом), если все свободные неизвестные равны 0, а соответствующее ему значение целевой функции f(x10, ... , xr0,0, ... ,0) называется базисным.

В силу важности особенностей симплексной формы выразим их и словами:

а) система (1`) удовлетворяет условиям :

все ограничения - в виде уравнений;все свободные члены неотрицательны, т.е. bi 0;имеет базисные неизвестные;

б) целевая функция (2`) удовлетворяет условиям :

содержит только свободные неизвестные;все члены перенесены влево, кроме свободного члена b0;обязательна минимизация (случай max сводится к min по формуле max f = - min(-f)).

Матричная форма симплекс-метода. Симплексной форме ЗЛП соответствует симплекс - матрица :

10 ... 0 ... 0a1,r+1 ... a1s ... a1nb1

01 ... 0 ... 0a2,r+1 ... a2s ... a2nb2

.................................................................

00 ... 1 ... 0ai,r+1 ... ais ... ainbi

.................................................................

00 ... 0 ... 1ar,r+1 ... ars ... arnbr

00 ... 0 ... 0cr+1... cs... cnb0

Заметим,что каждому базису (системе базисных неизвестных ) соответствуетсвоясимплекс - матрица , базисноерешениех = (b1,b2, ... ,br, 0, ... ,0) и базисное значение целевой функцииf(b1,b2, ... ,br, 0, ... ,0) = b0 (см. Последний столбец !).

Критерий оптимальности плана . Если в последней (целевой) строке симплекс-матрицы все элементы неположительны, без учета последнего b0, то соответствующий этой матрице план оптимален,

т.е.сj 0 (j = r+1, n) => min f (b1, ... ,b2,0, ... ,0) = b0.

Критерий отсутствия оптимальности. Если в симплекс-матрице имеется столбец (S-й), в котором последний элемент сs > 0, a все остальные элементы неположительны, то ЗЛП не имеет оптимального плана, т.е. сs > 0, ais 0 ( i= 1,r ) => min f = -.

Если в симплекс-матрице не выполняются оба критерия, то в поисках оптимума надо переходить к следующей матрице с помощью некоторого элемента ais > 0 и следующих преобразований (симплексных):

все элементы i-й строки делим на элемент a+is;все элементы S-го столбца, кроме ais=1, заменяем нулями;все остальные элементы матрицы преобразуем по правилу прямоугольника, что схематично показано на фрагменте матрицы и дано в формулах:

akl` = akbais - ailaks = akl - ailaks;

aisais

bk` = bkais - biaks;cl` = clais - csail

aisais

Определение. Элемент ais+ называется разрешающим, если преобразование матрицы с его помощью обеспечивает уменьшение

Похожие работы