Читать реферат по математике: "Исследование элементарных функций" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

Функция f(x) называется четной, если область её определения X есть множество, симметричное относительно начала координат, и при любом x из X имеет место равенство f(-x)=f(x).

График четной функции симметричен относительно оси Oy.

Функция f(x) называется нечетной, если область её определения X есть множество, симметричное относительно начала координат, и если при любом x из X имеет место равенство f(-x)=-f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Сумма и разность двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная).

Действительно, пусть y(x)=f(x) + g(x). Тогда, если f(x) и g(x) – четные, то y (-x) = f(-x) + g(-x) = f (x) + g (x) = y (x). Если же f (x) и g (x) – нечетные функции, то функция y (x) также будет нечетной, y (-x) = f (-x) + g (-x) = -f (x) – g (x) = -[f (x) + g (x)] = -y (x). (Для разности доказательство аналогичное).

Произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной функции на нечетную – нечетная функция.

В самом деле, пусть y (x) = f (x)*g (x) и f (x) и g (x) –четные функции, тогда y (-x) = f (-x)*g (-x) = f (x)*g (x) = y (x); если f (x) и g (x) – нечетные функции, то y (-x) = f (-x)*g(-x) = [-f (x)]*[-g(x)] = y (x); если же f (x) – четная, а g (x) – нечетная функции, то y (x) = f (x)*g (-x) = f (x)*[-g (x)] = -y (x).

Функция f (x) называется периодической, если существует число Т 0 такое, что для любого значения x из области определения функции выполняется равенство f (x - T) = f (x) = f (x + T). Число T называется периодом функции. Если T – период функции, то её периодом является также число – T, так как f (x-T) = f [(x - T) +T] = f (x).

Если T – период функции, то её периодом будет также и число kT, где k – любое целое число (k=1, 2, 3; …). Действительно, f (x 2T) = f [(xT)T] = f (xT) = f (x), f (x3T) = f [(x 2T) T] = f (x2T) = f (x 2T) = f (x);обычно под периодом функции понимают наименьший из положительных периодов, если такой период существует.

Исследование элементарных функций .

Основные простейшие элементарные функции:

Линейная функция y=kx+b;Степенная функция y=xⁿ; Квадратичная функция; Показательная функция(0 0, функция убывает при k0, то этот угол острый, если k 1, то функция возрастает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис.1); если 0 < a < 1, то функция убывает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис. 2);Точка (0; 1) – единственная точка пересечения с осями координат.

9. Не существует точек перегиба.

10. Не существует экстремальных точек.

[2]

[1]

Логарифмическая функция.

Y = logax

Область определения функции: 0 < x < ∞Множество значений функции: -∞ < y < +∞Функция ни четная, ни нечетная, так как f(-x) = loga(-x)Функция не периодическаяАсимптоты графика функции:

Вертикальные асимптоты х = 0

Горизонтальных асимптот не существует

Если a > 1, то функция возрастает на промежутке 0 < x < +∞ (на рис.1);

если 0 < a < 1, то функция убывает на этом же промежутке (на рис.2);

Точка (1; 0) – единственная точка пересечения с осями

координат.

8.Не существует точек перегиба.

9.Не существует экстремальных точек.

[2]

[1]

Тригонометрические функции. Функция y=sin xСвойства функции y=sin x:

Область определения функции:

Похожие работы