Читать реферат по математике: "БИНАРНАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Для любых двух элементов x и y, взятых из множества S определена бинарная алгебраическая операция « *» , если однозначно определен элемент z = x * y, называемый композицией или произведением элементов x и y

К таким операциям относятся операции сложения, вычитания или умножения на множестве всех действительных (или комплексных) чисел, операция умножения на множестве всех квадратных матриц определенного   порядка, операция композиции на множестве всех перестановок из N элементов, операция векторного перемножения на множестве всех векторов трехмерного пространства

Понятие арифметической операции – довольно обширно. Его можно применять практически ко всем операциям. Поэтому глубокое изучение этого определения не вполне допустимо

При изучении алгебры зачастую приходится сталкиваться с операциями, имеющими ряд свойств:

Свойство ассоциативности

В приведенных примерах арифметических операций это свойство выполняется почти везде, кроме операций вычитания и операций векторного произведения

Исходя из свойства ассоциативности, можно сделать вывод, что произведение любого количества сомножителей определено однозначно. Причем произведение не зависит от того, как расставлены скобки:

Однако при такой расстановке нельзя нарушать порядок, в котором следуют сомножители

С помощью свойства ассоциативности можно узнать степень любого элемента с натуральным показателем степени. Например :

  ( n сомножителей)

Обычные правила действий со степенями, при такой форме записи, также работают:

Свойство коммутативности

Свойство коммутативности справедливо при сложении и умножении чисел, но не допустимо при умножении матриц и композиции перестановок

Если объединить свойство ассоциативности и коммутативности, то можно хоть как переставлять сомножители в произведении, независимо от их числа

Также можно сказать, что:

Свойство наличия нейтрального элемента

Для арифметической операции элемент n называется нейтральным

Элемент n не зависит от того, какой x мы выберем

Например: для сложения нейтральный элемент - число ноль, для умножения - число единица

При умножении матриц нейтральным элементом будет являться единичная матрица, а при композиции перестановок - тождественная перестановка

Если перемножение будет векторным, то нейтральный элемент будет отсутствовать

Если в системе существует один нейтральный элемент, то, если операция ассоциативна, существует возможность определить степень с нулевым показателем :

При этом элемент x может быть любым. Свойства степени сохраняются и при показателе = 0

Свойство наличия обратного элемента

Это свойство стоит рассматривать, если у операции * существует нейтральный элемент

Обратный элемент   - это такой элемент, при умножении, на который числа x получается нейтральный элемент:

При сложении чисел можно сказать, что обратный элемент существует для любого числа и равен этому же числу, взятому с противоположным знаком

При умножении обратный элемент существует для всех чисел, кроме 0

При умножении матриц обратный элемент равен обратной матрице. Он существует, если определитель матрицы не равен нулю (матрица

Похожие работы