Читать реферат по математике: "ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МАТРИЦ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

         Cij =            ( i = 1, 2, …, m ;   j = 1, 2, …, p )            (1.4)

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись C = AB . Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B : необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B .   Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка

Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы C , являющейся произведением матрицы A на матрицу B . Это правило можно сформулировать и словесно: Элемент Cij , стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца матрицы C = AB , равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы A и j -го столбца матрицы B . В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

     =

Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы A на матрицу B :

сочетательное свойство:   ( AB ) C = A ( BC );

распределительное относительно суммы матриц свойство :

(A + B) C = AC + BC   или   A (B + C) = AB + AC

Вопрос о перестановочном свойстве произведения матриц имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Элементарные примеры показывают, что произведений двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, перестановочным свойством. В самом деле, если положить

              A =   ,   B =   , то   AB =   , а   BA =

Те же матрицы, для произведения которых справедливо перестанавочное свойство, принято называть коммутирующими

Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Среди всех диагональных матриц с совпадающими элементами на главной диагонали особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается, когда все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей n -ого порядка и обозначается символом E . Вторая матрица получается при всех элементах равных нулю и называется нулевой матрицей n -ого порядка и обозначается символом O . Допустим, что существует произвольная матрица A , тогда AE = EA = A ,   AO = OA = O

Первая из формул характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную то роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул, но и элементарно проверяемое равенство:   A + O = O + A = A .   Понятие нулевой матрицы можно вводить и не для квадратных матриц

Прежде всего, необходимо запомнить, что определители существуют только для матриц квадратного вида, ибо для матриц другого типа не существует определителей. В теории систем линейных уравнений и в некоторых других вопросах удобно использовать понятие определителя, или детерминанта

Рассмотрим какую-либо

Похожие работы