Читать реферат по математике: "Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

2. інші власні значення по модулю < r.

3. власний вектор, що відповідає r, можна вибрати додатним (тобто з додатними елементами).

Доведення теореми для 2х2 матриць.

Нехай .

Тоді .

Напишемо характеристичне рівняння для матриці А:

.

Це квадратне рівніння з дискримінантом:

І тому

Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r=1.

Знайдемо власний вектор , що відповідає власному значенню 1 з рівності

Тоді

, або

Враховуючи, що

перепишемо систему у вигляді:

Алеі тому рівняння системи пропорціональні, а це означає, що одне з них можна відкинути.

Знайдемо x1 з першого рівняння системи

Щоб довести, що власний вектор можна вибрати додатним, достатньо перевірити, що ,тому що поклавши отримаємо x1>0.

Враховуючи, що b>0 треба довести, що ,

але це випливає з того, що , бо cb>0.

Таким чином третє твердження доведено, а з ним доведена теорема.

Визначення: Матриця А n-го порядку зветься нерозкладною, якщо однаковим переставленням рядків та стовпців її не можна привести до виду , де А1, А2 - квадратні матриці розмірів k x k та (n-k) x (n-k) відповідно. Для 2х2 матрицьце означає, щота

Визначення: Матриця А зветься невід’ємною, якщо всі її елементи невід’ємні.

Зауваження: Фробеніус довів, що твердження теореми Перрона залишаються в силі для нерозкладних невід’ємних матриць. Це можна довести, просто повторивши наше доведення теореми Перрона для 2х2 матриць у випадку, коли один або обидва діагональних елемента дорівнюють нулю. Визначення: Квадратна матриця називається стохастичною, якщо

1)

2)Теорема Маркова: Нехай для стохастичної матриці P існує натуральне число k0 таке, що(тобто всі елементи додатні). Тоді

1.(існування границі матриці означає, що існує границя кожного її елементу)

2. Матриця- має однакові рядки.

3. Всі елементи цих рядків додатні.

Доведення теореми для 2х2 матриць.

Запишемо стохастичну матрицю у вигляді , де

Запишемо її характеристичне рівняння: ,

Це квадратне рівняння з дискрімінантом:

І тому

З урахуванняммаємо , але якщо , то це значить, що p=q=1 або p=q=0, відкіля матриця P буде мати вигляд , абоі тоді Pn містить нулі , що суперечить умові. Таким чином .

Беспосередньою перевіркою з урахуванням стохастичності встановлюємо, що власному значеннювідповідає власний вектор , де x1=x2, тобто, наприкладвласний вектор. Знайдемо власний вектор , що відповідає власному значенню .

За визначенням

Звідки

Згадуючи, щоотримуємо

Очевидно, що рівняння системи пропорційні, тому одне з них можна відкинути. Знайдемо y1 з першого рівняння:абозвідки , але, бо в протилежному випадку дана матриця мала б вигяд: , а тоді матрицямала б нульовий елемент , що суперечить умові. Тому можна записати, що

Доведемо тепер твердження 1 теореми.

Розглянемо матрицю S, стовпцями якої є власні вектори матриці P. Нам необхідно отримати зручну формулу для Pn.

Позначимо .

Оскілки , то існує S-1. Перепишемо рівняннятау матричній формі

або .

Відкіляі взагалі

Знайдемо границю Pn:

Твердження 1 теореми доведено.

Доведемо тепер, що рядки матриціоднакові. Для цього обчиcлимо .

Оскільки , то Ми бачимо, що

Похожие работы