Читать реферат по математике: "Задача о бесконечной ортотропной пластинке" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием Оглавление

Общетеоретическая частьПрикладная часть

Физическая постановка задачиУпругие свойства материалаМатематическая постановка задачиАналитическое решениеИллюстрация распределения напряжений

Используемая литература.

Приложение 1. (Расчетная схема на MathCad 7.0 )

Приложение 2. (График распределения напряжений). 1. Общетеоретическая частьр2

р1

Х1

Х2

Рассмотрим бесконечную пластинку с некоторым отверстием в центре. Центр отверстия примем за начало координат, а оси х1, х2 направим по главным направлениям упругости. На пластинку действуют некоторые распределенные нагрузки p1, p2 вдоль соответствующих осей. Общая система уравнение теории упругости выглядит следующим образом:

(1) Уравнения равновесия применительно к рассматриваемой задаче, т.е. когда напряжения зависят только от двух координат, запишутся так:

(2) В нашей задаче искомыми являются шесть функций компонент тензора напряжений . Но в уравнения равновесия (2) не входит , тем самым этой функции определяется особая роль. Для простоты последующих математических выкладок примем следующие предположения. Пусть для f1(x1,x2) и f2(x1,x2) существует потенциал, т.е. такая функция U(x1,x2) для которой выполняются условия:

(3)

Так как силы f1 и f2 задаются при постановки задачи, то потенциал U так же известная функция. Подставляя (3) в (2) получим:(4) Введем также еще две функции F(x1,x2) и (x1,x2), которые называются функциями напряжений и вводятся следующим образом: Нетрудно видеть, что при подстановки всех этих формул в систему (4) все три уравнения будут равны нулю. Теперь если мы найдем функции F(x1,x2) и (x1,x2), то будут найдены и функции компонент тензора напряжений, кроме компоненты .

Для упрощения дальнейших выкладок сделаем следующие преобразования. Так как тензор модулей упругости Сijmn представляет собой матрицу 6х6 из которых 21 компонента независимая, то для тензора напряжений и тензора деформаций вводится матрица столбец:

Тогда уравнения Коши запишутся следующим образом:

а через напряжения компоненты деформации определяются по закону Гука:

(5)

где aij - компоненты матрицы независимых постоянных тензора упругих податливостей Dijmn.

Обозначимкак неизвестную функцию D(x1,x2), тогда из закона Гука следует, что:

а выражение длябудет равно:

Теперь введем приведенные коэффициенты деформации, для которых имеет место выражение:

, где i,j=1..6 (6)

Подставим выражение дляв обобщенный закон Гука, тогда с учетом приведенных коэффициентов деформаций эти выражения примут вид:

Подставляя эти выражения в уравнения Коши получим следующую систему:

(7) Уравнения системы (7) включают в себя и уравнения Коши и закон Гука. В этой системе величины - константы, величиныи D зависят от двух координат x1 и x2, а перемещения ui - функции трех координат.

Система (7) является системой в частных производных относительно ui и решается последовательным интегрированием уравнений. Интегрирование следует проводить в следующем порядке - сначала необходимо проинтегрировать 3, 4 и 5 уравнения. После интегрирования 3-го уравнения получим:

(8) Подставляя u3 в 4-ое уравнение и интегрируя его получим:

(9)

Аналогично с 5-ым

Похожие работы