Читать реферат по физике: "Стрижень, навантажений бімоментом" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Стрижень, навантажений бімоментом

Стержень, навантажений бімоментом

Перепишемо  рівняння (9.24) у такий спосіб:

Тут

Рівняння (9.25) аналогічно рівнянню вигину при наявності поздовжньої сили. Загальний інтеграл його запишеться так:

Перекручування поперечного переріза по формулі (9.11) залежить від . Тому, якщо перетин змушений залишатися плоским, для нього . Нормальні напруження залежать від бімоменту, що, у свою чергу, виражається через . Виходить, якщо в перетині немає нормальних сил, то для нього .

Застосуємо (9.26) до стрижня, на який не діють крутні моменти й, отже,  усюди. Нехай стрижень має досить велику довжину. Вимагаючи, щоб величина  прагнула до нуля в міру зростання z, одержимо

Тому

Продиференціюємо  по z і врахуємо визначення бимомента. Множачи  на , одержимо

Ми встановили закон загасання бимомента в міру видалення від торця. Якщо до стрижня не прикладені згинальні моменти, то в кожному перетині діють нормальні напруження загасаючі за експонентним законом залежно від координати z. Щоб створити такий напружений стан, до торця потрібно прикласти сили, розподілені за законом секторіальних площ:

Фактично зовнішні сили ніколи не бувають розподілені за законом секторіальних площ. Щоб з'ясувати зміст  і те, яким чином можна прикласти бімомент у торцевому перетині стрижня, звернемося до випадку вигину. Нехай до торця стрижня прикладені нормальні сили  на одиницю площі перетину. При вивченні вигину нас не цікавить конкретний спосіб здійснення навантаження: напруження на деякій відстані від перетину розподіляються за законом площини. Це можна пояснити в такий спосіб. Розглянемо систему трьох функцій:

Оскільки  й  — головні осі, ці три функції ортогональні з  вагою . Це значить, що

Поставимо задачу апроксимувати функцію навантаження  за допомогою лінійної комбінації цих трьох функцій:

Залишок    повинен бути ортогональним по всіх трьох функціям системи. Надходячи, як звичайно при визначенні коефіцієнтів Фур'є, а саме множачи рівняння (9.28) на , , . і інтегруючи від  до , одержимо

Звичайна теорія вигину ґрунтується на тім факті, що частина навантаження, що дається першими трьома членами формули (9.28), передається як завгодно далеко по стрижню, не загасаючи. Статично врівноважена частина навантаження  загасає досить швидко, і з нею на деякій відстані від торця може вже не враховуваться.

У теорії тонкостінних стрижнів до уведених функцій додається четверта, ортогональна до них функція, а саме . Ортогональність забезпечується виконанням умов (9.14), (9.15):

Визначивши деяку повну систему функцій від , можемо представити  розкладанням по цих функціях. У теорії вигину тонкостінних стрижнів становлять інтерес тільки чотири функції:  Навантаження  може бути апроксимоване в такий спосіб:

Множачи обидві частини цієї рівності на  і інтегруючи, одержимо

Особливо потрібно зупинитися на тому випадку, коли до торця прикладені зосереджені сили. Інтеграл вироджується при цьому в кінцеву суму:

Похожие работы