Читать реферат по физике: "Принцип можливих переміщень" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Принцип можливих переміщень

Розглянемо деяке тіло, завантажене об'ємними  і поверхневими  силами на частині поверхні . Частина поверхні тіла, що залишилася,  має задані переміщення (кінематичні граничні умови)

Припустимо, що стан рівноваги тіла характеризується компонентами переміщення , шістьома компонентами напруги  і шістьома компонентами деформації . Далі, нехай переміщення тіла в його рівноважному стані одержали малі можливі переміщення. Тоді відповідно до принципу можливих переміщень (11.3)

де варіація потенційної деформації тіла (11.10)

Принцип можливих переміщень у формулюванні (11.43) справедливий при будь-яких властивостях матеріалу тіла, тобто при довільному законі зв'язку між компонентами напружень і деформацій, і при довільному законі кінематичного зв'язку між компонентами переміщень  і деформацій . Ним можна користуватися і у випадку неконсервативних зовнішніх сил, тобто сил, робота яких залежить від  історії навантаження тіла.

Покажемо, що виконання умови (11.43) приводить до тотожного виконання всіх рівнянь рівноваги по обсягу тіла і природних (силових) граничних умов на частині поверхні . Для простоти обмежимося виводом рівнянь рівноваги лінійної теорії пружності, що припускає справедливість лінійних співвідношень (2.40) між компонентами переміщень і деформацій.

Варіації від компонентів деформації рівні

Вносячи вираз для  у формулу (11.44) і інтегруючи кожний член підінтегрального виразу вроздріб з використанням відомої формули Гаусса-Остроградского

для перетворення об'ємного інтеграла в поверхневий, одержуємо

Можливі переміщення  повинні бути погоджені з кінематичними умовами закріплення тіла. У нашому випадку  потрібно вибрати так, щоб не порушувалася умова (11.42) на поверхні . Ця умова не буде порушена, якщо

Тоді другий інтеграл у формулі (11.45) звернеться в нуль і, отже,

Підставляючи значення , у вираз (11.43) і збираючи всі члени при варіаціях , одержуємо

У силу довільності варіацій  рівність (11.46) можливо лише у випадку, якщо кожний з коефіцієнтів при цих варіаціях буде дорівнювати нулю

Рівняння (11.47) являють собою основні диференціальні рівняння рівноваги для об'ємного напруженого стану лінійної теорії пружності; система рівнянь (11.48) — силові граничні умови на частині поверхні тіла , де прикладені поверхневі сили .

Отриманий результат дає підставу вважати, що принцип можливих переміщень (11.43) є найбільш загальним початком статики, застосовним до задач визначення рівноважного стану тіла незалежно від того, підкоряється матеріал тіла закону Гука чи ні.

Якщо при використанні принципу можливих переміщень функції, якими апроксимуються компоненти переміщення , безперервні і диференційовані по всій області V, а також задовольняють всім кінематичним зв'язкам, накладеним на тіло, то умови сплошности тотожно виконуються по всьому обсягу тіла і на частині його поверхні . Рівняння ж рівноваги (11.47) і (11.48), як було показано вище, автоматично виконуються як наслідок

Похожие работы