Читать реферат по физике: "Згинальні коливання балок. Основне рівняння. Граничні умови" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Згинальні коливання балок. Основне рівняння. Граничні умови Основне рівняння

З курсу опору матеріалів відомі диференціальні залежності при вигині балок

;                                                                                                       (189)

,                                                                                                           (190)

де EJ - жорсткість при вигині; y=y(x , t) - прогин; M=M(x , t) - згинальний момент; q - інтенсивність розподіленого навантаження.

Об’єднаємо вирази (189) і (190):

.                                                                                              (191)

У задачі про вільні коливання навантаженням для пружного кістяка є розподілені сили інерції

,

де m - інтенсивність маси балки (маса одиниці довжини), і рівняння (191) приймає вид

.

У окремому випадку постійного поперечного перетину, коли EJ = const, m = const, одержимо

.                                                                                              (192)

Для рішення рівняння (192) приймемо, як і вище,

y = X (x)( T (t).                                                                                                     (193)

Підставляючи (193) у (192), приходимо до рівняння

.

Для тотожного виконання цієї рівності необхідно, щоб кожна з частин рівності дорівнювала постійній. Позначаючи цю постійну через , одержимо два рівняння:

;                                                                                                        (194)

.                                                                                               (195)

Перше рівняння вказує на те, що рух носить коливальний характер із частотою .

Друге рівняння визначає форму коливань. Рішення рівняння (195) містить чотири постійних і має вид

,

де

.                                                                                                         (196)

Зручно використовувати варіант запису загального рішення, запропонований О.М.Криловим:

,                                                                                 (197)

де

                                                                                        (198)

являють собою функції О.М.Крилова.

Звернемо увагу на те, що S=1, T=U=V=0 при x=0. Функції S,T,U,V зв'язані між собою в такий спосіб:

                                                                                                         (199)

Тому похідні виразу (197) записуються у виді

                                                                     (200)

У задачах розглянутого класу число власних частот нескінченно велике; кожній з них відповідає своя функція часу Tn і своя фундаментальна функція Xn. Загальне рішення утвориться шляхом накладення приватних рішень виду (193):

.                                                                                          (201)

Для визначення власних частот і форм необхідно розглянути граничні умови.

Граничні умови

Для кожного кінця стрижня можна зазначити дві граничних умови.

Вільний кінець стрижня (мал.70,а). Нулю рівна поперечна сила Q=EJX''' і згинальний момент M=EJX''. Тому

Похожие работы