Читать реферат по физике: "Вираження напруг через зусилля. Диференціальне рівняння вигнутої серединної поверхні пластинки" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Вираження напруг через зусилля. Диференціальне рівняння вигнутої серединної поверхні пластинки Вираження напружень через зусилля

Формули, виведені в попередньому параграфі, дозволяють визначати моменти й поперечні сили в будь-якій точці серединної площини пластинки. По їх значенню можна знайти напруження в будь-якій точці пластинки. Дійсно, порівнюючи вирази нормальних напружень (5.6) з формулами згинальних моментів (5.8), одержуємо

Ці формули відповідають формулам для визначення нормальних напружень при згинанні балки прямокутного перерізу. У них входить момент інерції площі прямокутного перерізу шириною, рівної одиниці, . Таким чином, формули (а) приймають вид, відомий з курсу опору матеріалів:

Максимальні за абсолютним значенням нормальні напруження виникають при :

Тут  – момент опору прямокутного перерізу шириною, рівній одиниці.

З порівняння формул (5.6) і (5.10) треба

.

Максимальні дотичні напруження  також виникають при :

.

Вертикальні дотичні напруження визначаємо з порівняння формул (5.6) і (5.9):

;

.

Аналогічні результати отримані в опорі матеріалів по формулі Д. И. Журавського для балки прямокутного перетину шириною, рівній одиниці. Максимальні напруження виникають у точках серединної площини, тобто при :

;

. Диференційне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки

У попередніх параграфах напруження й зусилля в пластинці виражені через прогини її серединної площини. Отже, для визначення напружень і зусиль необхідно знати функцію прогинів .

Виріжемо із серединної площини пластинки нескінченно малий елемент  розмірами  і покажемо прикладені до нього зусилля   (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Зусилля в нескінченно малому елементі

На грані  діє поперечна сила . На грані , що відстоїть від грані  на нескінченно малій відстані , поперечна сила одержує нескінченно мале збільшення і дорівнює .

Аналогічно, на гранях  і  діють відповідно поперечні сили  й . Нормально до серединної площини діє поверхневе навантаження інтенсивністю .

Для того щоб розглянутий елемент серединної площини перебував у рівновазі, повинні задовольнятися шість умов рівноваги: три рівняння проекцій сил на координатні осі і три рівняння моментів щодо цих осей. При цьому всі зусилля варто множити на довжину грані, по якій вони діють.

Спроектуємо  всі сили, зображені на рис. 5.5, на вісь :

.

Після спрощення одержуємо

Рівняння моментів всіх сил щодо осі  має вигляд

Після спрощення одержуємо

Аналогічно, з рівняння  моментів щодо осі  виходить

Виключимо з рівнянь (5.12)-(5.14) поперечні сили. У результаті одержимо

.

Підставимо  в це рівняння вирази моментів (5.8) і (5.10):

,

звідки після спрощення

або

Одержали основне рівняння згинання пластинки, яке звичайно називається рівнянням Софі Жермєн. При його інтегруванні з'являться довільні постійні, які повинні бути визначені з умов на контурі пластинки, що залежать від характеру

Похожие работы