Читать реферат по физике: "Взаємозв'язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Взаємозв'язок між тензорами напруг і деформацій. Узагальнений закон Гука

Залежності між напругами й деформаціями носять фізичний характер. Обмежуючись малими деформаціями, зв'язок між напругами й деформаціями можна вважати лінійним (рис.1.6).

Рис.1.6. Діаграма розтягування сталі

В загальному випадку анізотропії кожна складова напруги може залежати від усіх складових деформації:

Коефіцієнти  (загальним числом 36) називаються пружними постійними. Якщо розглядати тільки пружні процеси деформування, при яких після зняття навантажень форма й розміри тіла повністю відновлюються, то між коефіцієнтами  існує залежність:

= .

Тоді число пружних постійних зменшується до 21.

Для ізотропного тіла рівняння (1.58) не повинні змінюватися при будь-яких перетвореннях координат. Здійснюючи поворот осей на 180с, можна встановити, що нормальні напруги не пов'язані з кутовими деформаціями, а дотичні — з лінійними, що знижує кількість пружних постійних до 12. Крім того, дотичні напруги не пов'язані із пружними деформаціями в інших площинах, а це зменшує кількість пружних постійних до дев'яти. Нарешті, після повороту осей на 90° і на довільний кут число пружних постійних стає рівним двом, які відомі з курсу опору матеріалів.

При випробуванні стержня на розтягання встановлена пропорційна залежність між нормальною напругою й лінійною деформацією в одному напрямку, що називається законом Гука:

де пружна постійна  називається модулем повздовжньої пружності.

Тим же експериментальним шляхом установлений зв'язок між лінійними деформаціями в повздовжньому й поперечному напрямках:

де  — лінійна деформація в поперечному напрямку,  — другим пружним постійним, називаним коефіцієнтом Пуассона.

При механічних випробуваннях на чистий зсув встановлена прямо пропорційна залежність між дотичним напруженням і кутовою деформацією в площині дії цієї напруги, що одержала назву закону Гука при зсуві:

де величина  є третьої пружною постійною й називається модулем зсуву. Однак ця пружна постійна не є незалежною, тому що пов'язана з першими двома залежностями

Щоб установити залежності між складовими деформації й напругами, виділимо з тіла нескінченно малий паралелепіпед (рис.1.1) і розглянемо дію тільки нормальних напруг  Різницею між напругами на протилежних гранях паралелепіпеда можна зневажити, тому що вона приводить до деформацій більш високого порядку малості.

Визначимо подовження ребра  паралельного напрузі  При дії цієї напруги відповідно до закону Гука (1.59) відбудеться відносне подовження ребра

Напруга  викликає аналогічне подовження в напрямку, перпендикулярному ребру

а в напрямку самого ребра - укорочення, що згідно (1.60) становить

або, з урахуванням виразу деформації

Аналогічно визначається відносне вкорочення ребра  при дії напруги

На підставі принципу незалежності дії сил повне відносне подовження ребра  можна визначити як суму подовжень від дії кожної напруги:

або

Аналогічно можна визначити лінійні деформації по напрямках

Похожие работы