Читать реферат по математике: "Поняття про ірраціональні числа. Дійсні числа" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Реферат на тему:

Поняття про ірраціональні числа. Дійсні числа

Арифметичним квадратним коренем з невід’ємного числа а називають невід’ємне число, квадрат якого дорівнює а. Арифметичний квадратний корінь із числа а позначають Теорема. Серед раціональних чисел немає такого, яке дорівнювало б значенню

Припустимо протилежне. Нехай існує таке раціональне число, квадрат якого дорівнює 2. Це число можна подати у вигляді нескорочуваного дробуде— натуральні числа. ТодіОскільки число — парне, то й число , що йому дорівнює також парне, а тому число — також парне (адже квадрат непарного числа є непарне число), тобтоде— натуральне число. Підставивши цей вираз у рівністьдістанемоОскіль­ки— парне число, то— також парне, тому і— парне число. Отже,і— парні числа, а це суперечить припущенню, що дрібнескоротний. Звідси випливає, що не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2. Таким чином, не є раціональним числом.

Це число називають ірраціональним. Ірраціональними числами єі т. ін.

Зауважимо, що до ірраціональних чисел належить числояке виражає відношення довжини кола до його діаметра.

У теоремі 1.10 доведено, що кожне раціональне число є нескінченним періодичним десятковим дробом. Було зазначено також, що будь-який періодичний десятковий дріб є поданням деякого раціонального числа.

Крім періодичних нескінченних десяткових дробів, існують непе­ріодичні дроби: такий, наприклад, дріб в якого після першої двійки одна одиниця, після другої — дві одиниці і т. д. Кожний неперіодичний нескінченний десятковий дрібде— ціла частина числа х;— десяткові знаки, є поданням деякого нового (не раціонального) числа, що називається ірраціональним. Множину всіх таких чисел називають множиною ірраціональних чисел.

Множиною дійсних чисел називають множину всіх раціональних і всіх ірраціональних чисел. Таким чином, з’ясовується, що будь-яке дійсне число подається нескінченним десятковим дробом. Множина всіх дійсних чисел позначається R.

Дійсні числа впорядковано за величиною, тобто для будь-яких двох дійсних чиселісправджується лише одне і лише одне із співвідношень:Сенс нерівності між дійсними числами визначається правилом порівняння нескінченних десяткових дробів.

Для дійсного числанаближення з точністю до з недостачею і з надлишком визначаються так: Очевидно, що

Додавання до десяткового дробу числа рівносильне збіль­шенню останньої цифри дробу на одиницю. Зауважимо, що кожне з десяткових наближеньідійсного числа є раціональним числом. Приклад. Випишемо перші п’ять наближень (з недостачею та надлишком) для числа

Для дійсних чисел можна визначити арифметичні операції додавання і множення. Віднімання визначається як дія, обернена до додавання, а ділення — як дія, обернена до множення. Основні властивості арифметичних дій із цілими числами справеджуються і для дійсних чисел.

Визначимо суму і добуток двох дійсних чиселіДля їхніх наближень з недостачею та надлишком із точністю досправджуються такі нерівності

Сумою дійсних чиселіназивають таке дійсне число яке при будь-якому цілому невід’ємному задовольняє нерівності Можна довести, що таке число існує і єдине.

Добутком невід’ємних дійсних чисел іназивають таке дійсне число яке

Похожие работы