Читать практическое задание по математике: "Алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка" (автор: Eridu) Страница 1


назад (Назад)скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

+ p + qy = 0 , p- q- вещественные числа

Если k – вещественный корень уравнения:

(1)+ pk + q = 0 =>– решение уравнения+ p + qy ;

1) Если числа= 𝛼 + i𝛽 и= 𝛼 - i𝝱 ( 𝝱0) – комплексные корни характеристического уравнения (1) => функции=cos 𝝱x и

=sin 𝝱x – являются решениями + p + qy = 0 ;

2) Eсли корни характеристического уравнения вещественные и различные () => общее решение уравнения+ p + qy =0 имеет вид:

y =+

3) Если корни характеристического уравнения вещественные и равные (=) = > общее решение имеет вид:

y =+

4) Если корни характеристического уравнения комплексные (= α + i𝝱,

= α – i𝝱, 𝝱0 ) => общее решение имеет вид:

y =(cos 𝝱x +sin 𝝱x)

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

+ p + qy = f(x);

p, q- вещественные числа; f(x) - непрерывная функция.

Виды правых частей уравнения:

Правая часть имеет вид:

f(x) =(x),

где=++ … +x +– многочлен степени n;

Тогдачастноерешение ищут в виде :Ŷ=(x),

где(x) - многочлен такой же степени, чтои (x), а r – характеристического уравнения, равных =0.

Алгоритм решения

Последовательность действий.

•y- 2y’ + 2y =+ 4x +1;Начальные условия: у(0)= -1 y’(0)=1

1. Записываем характеристическое уравнения.

y=1,y’=r,y’’=, тогда:+ 2r +2 =0

2. Находим корни характеристического уравнения

D =- 412 = -4 < 0,=== -1i

3. Записываем общее решение однородного уравнения ( исходя из того, что корни характеристического уравнения – комплексные).

= αi𝝱,𝝱0Общее вид:y =(cos 𝝱x +sin𝝱x)для данного случая:α =1,𝝱=1, тогда:=(cos x +sin x)

4. Записываем выражение для решения общего неоднородного уравнения.

=+

5. Записываем общий вид для частного неоднородного решения

= α+ 𝝱x +c – т.к. f(x)- стоящая в правой части исходного дифференциального уравнения есть многочлен 2-ой степени.

6. Находим производное 1 –го и 2-го порядка для решения частного неоднородного уравнения.

у’ = ( α+ 𝝱x +c) = 2αx + by’’ = ( 2αx + b)’ =2a

7. Подставляем найденные производные 1-го и 2-го порядка в исходное дифференциальное уравнение.

2a + 2(2ax + b) + 2 (a+ bx +c) =+ 4x +1

8. Группируем члены уравнения по степеням.

2 a + 4ax +2b + 2a+ 2bx + 2c =+ 4x +1,тогда:2a+ x(4a + 2b) + 2a + 2b+2c =4x +1

9.Находим коэффициенты , ,методом неопределенных коэффициентов.

Алгоритм метода неопределенныхкоэффициентов: ищем соответствие числовых коэффициентов при неизвестных в правой и левой частях уравнения:2a+ x(4a + 2b) + 2a +2b +2c =+ 4x +1или2a+ x(4a + 2b) + 2a+ 2b +2c==+ 4x +1

10. Записываем найденные коэффициенты в решение частного неоднородного уравнения.

= a+ bx + c =+x -1

11. Записываем решение общего неоднородного уравнения.

=+==cos x +sin x ++x +1

12.Подставляем заданные начальные условия y(0) =-1 в решение общего неоднородного уравнения.

cos(0) +sin(0) =-1


Интересная статья: Основы написания курсовой работы