Читать контрольная по математике: "Поведение частицы в поле Кулона-Дирака" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Содержание Введение

. Квантовое усреднение

. Когерентное преобразование

. Построение ВКБ-асимптотики

. Решение многоточечной спектральной задачи. Вычисление поправки в спектральной серии

. Вычисление нормы. Формулировка итоговой теоремы

Заключение

Список литературы Введение В данной работе рассматривается поведение частицы в поле Кулона-Дирака, возмущенном однородными магнитными и неоднородными электрическими полями. Необходимо исследовать задачу на собственные значения в гильбертовом пространстведля следующего гамильтониана частицы: , (1) где гамильтонианзадается соотношением , - малый параметр, характеризующий напряженность поля и заряд частицы; функцияопределяет аксиальное возмущение данного поля Кулона-Дирака, причем. На магнитный заряднакладывается условие квантования, где, .

Известно [1], что алгебра, возникающая при рассмотрении данной задачи, является алгеброй с квадратичными коммутационными соотношениями. Каждому представлению полученной алгебры можно поставить в соответствие спектральный кластер около уровня энергии невозмущенной частицы. Состояния системы (1) вблизи границ спектральных кластеров требуют дополнительного исследования, так как к ним невозможно применить стандартные интегральные представления.

Метод нахождения асимптотики спектра вблизи границ спектральных кластеров был предложен в работах [2], [3], где рассматривалась спектральная задача для двумерного возмущенного осциллятора [4] и задача о спектре атома водорода [5]. Этот метод был применен в данной работе для нахождения асимптотики спектра вблизи нижних границ спектральных кластеров для задачи (1) . Кроме того, формула, полученная для асимптотики собственной функции, будет глобальной.

Цель данной работы - найти асимптотику решения спектральной задачи, (2) в области отрицательных энергий.

Введя предположение, что, и произведя регуляризацию задача (2) сводится к спектральной задаче (3) в гильбертовом пространстве , в котором скалярное произведение определяется следующим равенством: (4) где- скалярное произведение в. Дляопределяется оператор «действие» , где.

Операторзадается формулой .

Спектр операторав гильбертовом пространствесоставлен из чисел где собственные значениякратны.

Так как собственные числа оператора - арифметическая прогрессия, то его название оператор «действия» является корректным. . Квантовое усреднение В работах [1], [6] описана схема квантового усреднения. Следуя ей, находим обратимый оператори операторыс точностью , которые задаются следующими формулами: Получившийся операторназывается усредненным оператором. Так как операторкоммутативен старшей части , то решение спектральной задачи для операторас точностьюможно свести к решению спектральной задачи для операторана собственных подпространствах оператора.

Для первого приближения посправедливо: где

В итоге спектральная задача (3) с точностьюприводится к новой спектральной задаче

Причем, . Собственные значения задачи (3) удовлетворяют следующему равенству, а связь между ее собственными функциямии собственными функциямизадачи (4) определяется как. Здесь операторы ,задаются явными формулами.

Следует отметить, что по построению операторыикоммутируют. Операторыиоба

Похожие работы