Читать контрольная по математике: "Операции с матрицами" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

1. В декартовой прямоугольной системе координат даны координаты вершин пирамиды ABCD. Постройте чертеж и решите следующие задачи:

а) докажите, что система векторовлинейно независима;

б) постройте вектор, где M и N - середины ребер AD и BC соответственно, найдите его координаты и его разложение по базису;

в) найдите длину ребра AB;

г) вычислите величину угла между ребрами AB и AC;

д) напишите уравнение прямой АВ;

е) составьте уравнение плоскости АВС;

ж) напишите уравнение высоты, опущенной из вершины D на плоскость АВС. A (1,-1,0), B (2,3,1),C (-1,1,1),D (4,-3,5). Решение

а) Найдем координаты векторов: Найдем смешанное произведение Значит, векторы линейно независимы и образуют базис.

б) Координаты точек Пусть имеет в базисекоординаты . Тогда: Подставим координаты: . Составим и решим систему уравнений Решаем систему методом Крамера. Основной определитель системы: ∆ = 1 (2 10-2 (-2)) - 4 ( (-2) 10-2 3) +2 ( (-2) (-2) - 2 3) = 124Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы. ∆1 = (-1) 1 + 1a11∆11 + (-1) 2 + 1a21∆21 + (-1) 3 + 1a31∆31 =

= (-2) (2 10-2 (-2)) - 4 ( (-2) 10-2 3) + (-3) ( (-2) (-2) - 2 3) = 62Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы. ∆2 = (-1) 1 + 1a11∆11 + (-1) 2 + 1a21∆21 + (-1) 3 + 1a31∆31 = 1 (4 10- (-3) (-2)) - 4 ( (-2) 10- (-3) 3) +2 ( (-2) (-2) - 4 3) = 62 ,Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы. ∆3 = (-1) 1 + 1a11∆11 + (-1) 2 + 1a21∆21 + (-1) 3 + 1a31∆31 =

= 1 (2 (-3) - 2 4) - 4 ( (-2) (-3) - 2 (-2)) +2 ( (-2) 4-2 (-2)) = - 62Выпишем отдельно найденные переменные Х - новые координатыв) длина ребра AB; г) величина угла между ребрами AB и AC

Координаты векторов: д) напишите уравнение прямой АВ- прямая АВ е) составьте уравнение плоскости АВС;

Составим определитель Раскрываем определитель по первой строке. Уравнение плоскости АВС:ж) уравнение высоты, опущенной из вершины D на плоскость АВС

Нормальный вектор плоскости АВСявляется направляющим вектором прямой

Уравнение прямой- высота DH. Для матриц А и В выполните следующие операции А) .

Б) .

В) .

Г) .

Д) ,где n - любое натуральное число. .Решение Б) . Главный определитель ∆=23 (139- (-2027)) - (-15 (-1339- (-2022))) +24 (-1327-122) =3360 Определитель отличен от нуля, следовательно матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу.

Обратная матрица будет иметь следующий вид:

где Aij - алгебраические дополнения. Транспонированная матрицаНайдем алгебраические дополнения матрицы AT. ∆1,1= (139-27 (-20)) =579

∆1,2=- (-1339-22 (-20)) =67

∆1,3= (-1327-221) =-373

∆2,1=- (-1539-2724) =1233

∆2,2= (2339-2224) =369

∆2,3=- (2327-22 (-15)) =-951

∆3,1= (-15 (-20) - 124) =276

∆3,2=- (23 (-20) - (-1324)) =148

∆3,3= (231- (-13 (-15))) =-172

Обратная матрица.Для матриц А и В найдем обратные Главный определитель ∆=1 (62-0 (-1)) - 4 (-22-03) +7 (-2 (-1) - 63) =-84 Определитель отличен от нуля, следовательно матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A-1. Транспонированная матрица.Найдем алгебраические дополнения матрицы AT. ∆1,1= (62- (-10)) =12 ∆1,2=- (-22-30) =4

∆1,3= (-2 (-1) - 36)

Похожие работы