- 1
- 2
- 3
- . . .
- последняя »
Приложение определенного интеграла к решению технических задач 1. Общая схема применения определенного интеграла
интеграл неподвижный ось
Если всякому промежутку , содержащемуся в некотором фиксированном промежутке , отвечает значение определенной физической и геометрической величины , тоназывают функцией промежуткаи обозначают .
Функция промежутканазывается аддитивной, если приимеем
.
Рассмотрим аддитивную функцию промежуткаи допустим, что на фиксированном промежуткаопределена непрерывная функция , связанная с функцией , , соотношением
,
где- такая функция, что
(то естьявляется бесконечно малой величиной высшего порядка по сравнению с .
Тогда
(1)
Таким образом, если удалось с точностью до бесконечно малой высшего порядка по сравнению сустановить приближенное равенство
,
то можно вычислить интересующее значениепо формуле (1). В этом и состоит схема применения определенного интеграла.
2. Вычисления моментов и координат центра тяжести плоских фигур
Пусть- система материальных точек (с массами соответственно , лежащих в одной плоскости, аи - соответственно координаты точек . Величины
и
называются статическим моментом этой системы точек относительно осейи , а величины
и
называются моментами инерции этой системы относительно осейи .
Предположим, что вдоль произвольной гладкой кривой , , равномерно распределена масса с линейной плотностью . Тогда статическими моментами дуги кривой (при ) относительно осей координат называются величины
; , (2)
а моментами инерции дуги кривой относительно осей координат называются величины
и
. (3)
Координаты центра тяжести дуги однородной кривой(с равномерно распределенной массой, линейная плотность которой ) вычисляются по формулам
; , (4)
где -длина дуги кривой , .
Если рассматриваемая дуга симметрична относительно некоторой прямой, то центр тяжести дуги лежит на этой прямой. Статическими моментами однородной криволинейной трапеции , , ,(с равномерно распределенной массой, поверхностная плотность которой , относительно осей координат называют величины
, , (5)
а моментами инерции этой трапеции относительно осей координат - величины
, , (6)
в предположении, что кривая не пересекает ось .
Координаты центра тяжести однородной криволинейной трапеции вычисляются по формулам
, , (7)
где- площадь трапеции.
Если плоская фигура имеет ось симметрии, то центр тяжести фигуры лежит на этой оси.
Задача 1. Найти статический момент и момент инерции однороднойдуги полуокружности радиусаотносительно диаметра, проходящего через концы этой дуги (рис 1).
Решение. Расположим дугу полуокружности так, чтобы диаметр совпадал с осью , центр круга совпадал с началом координат, а рассматриваемая полуокружность оказалась в верхней полуплоскости. Тогда искомыми моментами будути . Разобьем дугу полуокружности на элементарные дуги , считаем при этом, что массасосредоточена в начальной точке этой дуги . Тогда масса дуги (так как )
.
С точностью до бесконечно малой того же порядка, что и , имеем
;
.
На
- 1
- 2
- 3
- . . .
- последняя »
Похожие работы
Тема: Использование ключевых задач в процессе обучения школьников решению задач по геометрии |
Предмет/Тип: Педагогика (Курсовая работа (т)) |
Тема: Обучение решению задач по математике в начальной школе с использованием задач сказочного содержания |
Предмет/Тип: Педагогика (Курсовая работа (т)) |
Тема: Применение подобия к решению задач |
Предмет/Тип: Математика (Статья) |
Тема: Применение движений к решению задач |
Предмет/Тип: Математика (Статья) |
Тема: Применение производной к решению задач |
Предмет/Тип: Математика (Курсовая работа (т)) |
Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы