Читать методичка по математике: "Приложение определенного интеграла к решению технических задач" Страница 1

назад (Назад)скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Приложение определенного интеграла к решению технических задач 1. Общая схема применения определенного интеграла

интеграл неподвижный ось

Если всякому промежутку , содержащемуся в некотором фиксированном промежутке , отвечает значение определенной физической и геометрической величины , тоназывают функцией промежуткаи обозначают .

Функция промежутканазывается аддитивной, если приимеем

.

Рассмотрим аддитивную функцию промежуткаи допустим, что на фиксированном промежуткаопределена непрерывная функция , связанная с функцией , , соотношением

,

где- такая функция, что

(то естьявляется бесконечно малой величиной высшего порядка по сравнению с .

Тогда

(1)

Таким образом, если удалось с точностью до бесконечно малой высшего порядка по сравнению сустановить приближенное равенство

,

то можно вычислить интересующее значениепо формуле (1). В этом и состоит схема применения определенного интеграла.

2. Вычисления моментов и координат центра тяжести плоских фигур

Пусть- система материальных точек (с массами соответственно , лежащих в одной плоскости, аи - соответственно координаты точек . Величины

и

называются статическим моментом этой системы точек относительно осейи , а величины

и

называются моментами инерции этой системы относительно осейи .

Предположим, что вдоль произвольной гладкой кривой , , равномерно распределена масса с линейной плотностью . Тогда статическими моментами дуги кривой (при ) относительно осей координат называются величины

; , (2)

а моментами инерции дуги кривой относительно осей координат называются величины

и

. (3)

Координаты центра тяжести дуги однородной кривой(с равномерно распределенной массой, линейная плотность которой ) вычисляются по формулам

; , (4)

где -длина дуги кривой , .

Если рассматриваемая дуга симметрична относительно некоторой прямой, то центр тяжести дуги лежит на этой прямой. Статическими моментами однородной криволинейной трапеции , , ,(с равномерно распределенной массой, поверхностная плотность которой , относительно осей координат называют величины

, , (5)

а моментами инерции этой трапеции относительно осей координат - величины

, , (6)

в предположении, что кривая не пересекает ось .

Координаты центра тяжести однородной криволинейной трапеции вычисляются по формулам

, , (7)

где- площадь трапеции.

Если плоская фигура имеет ось симметрии, то центр тяжести фигуры лежит на этой оси.

Задача 1. Найти статический момент и момент инерции однороднойдуги полуокружности радиусаотносительно диаметра, проходящего через концы этой дуги (рис 1).

Решение. Расположим дугу полуокружности так, чтобы диаметр совпадал с осью , центр круга совпадал с началом координат, а рассматриваемая полуокружность оказалась в верхней полуплоскости. Тогда искомыми моментами будути . Разобьем дугу полуокружности на элементарные дуги , считаем при этом, что массасосредоточена в начальной точке этой дуги . Тогда масса дуги (так как )

.

С точностью до бесконечно малой того же порядка, что и , имеем

;

.

На


Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы