Читать контрольная по менеджменту: "Численные методы поиска стационарных точек в оптимизационных задачах: метод Ньютона" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Численные методы поиска стационарных точек в оптимизационных задачах: метод Ньютона

Как научное направление, теория оптимизации возникла лишь в эпоху ЭВМ, так как реализация алгоритмов отыскания экстремумов чрезвычайно трудоемка, но основные методы и подходы, использующиеся в теории оптимизации, были разработаны крупнейшими математиками прошлого - Ньютоном, Эйлером, Лагранжем.

Обычная постановка задачи оптимизации (которую мы будем называть классической) состоит в следующем. В некотором -мерном пространстветем или иным способом выделяется некоторое непустое множество точек этого пространства , называемое допустимым множеством. Далее фиксируется некоторая вещественная функция , заданная во всех точках допустимого множества. Задача оптимизации состоит в том, чтобы найти точкуво множестве , для которой функция(целевая функция) принимает экстремальное - минимальное или максимальное значение.

Под точкой пространствапонимается -мерный вектор и, соответственно,является функцией -мерного векторного аргумента.

Особо следует отметить, что при представлении о системе в форме понятие допустимого множества совпадает с понятием области допустимых траекторий или области существования системы.

Задачу оптимизации мы будем записывать следующим образом:

или (1) При перемене знака целевой функции все точки ее максимума превращаются, очевидно, в точки минимума и наоборот. Поэтому в теории достаточно рассматривать лишь какой-нибудь один из видов оптимума (максимум или минимум).

В современной теории оптимизации чаще всего останавливаются на нахождении минимума. Все результаты этой задачи очевидным образом переходят на задачу максимизации.

Заметим, что термин «оптимизация функции» не вполне точно отражает существо процесса оптимизации в форме (1). В таком процессе сама функция остается неизменной.

Речь идет об оптимизации ее значения (путем выбора соответствующей точки в допустимом -мерном допустимом множестве значений ее аргумента ). Помимо такой задачи (задачи оптимизации функций) возможна постановка оптимизационной задачи, при которой в качестве допустимого множества выступает некоторое множествовещественных функций , а целевая функция есть некоторый функционал , сопоставляющей каждой функциинекоторое вещественное число . Такую задачу мы будем называть задачей оптимизации функционалов или вариационной задачей.

В стандартных формах задач объектом оптимизации является непрерывная функциявещественных переменных , допустимая областьзадается конечной системой равенстви неравенств с непрерывными левыми частямии . Если при этом областьограничена, то в ней обязательно существует по крайней мере одна точка абсолютного максимума и одна точка абсолютного минимума функции . Поскольку перемена знака у левых частей неравенствименяет знаки этих неравенств на противоположные, можно ограничиться одним из двух типов неравенств.

Обычно при максимизации используются неравенства вида , а при минимизации - неравенства вида .

Таким образом, возникают две стандартные формы постановки задач оптимизации:

(2)Ограничения типа неравенств

Похожие работы