Читать методичка по математике: "Рекомендации и примеры решения задач по математике в соответствии с требованиями Единого государственного экзамена" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Рекомендации и примеры решения задач по математике в соответствии с требованиями единого государственного экзамена 1. Геометрический смысл производной

математический задача решение

В задаче B8 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

1. Значение производной в некоторой точке x0,

2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),

. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Несмотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы - все они будут рассмотрены ниже.

Информация к размышлению

Внимательно читайте условие задачи B8, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x0, и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x1; y1) и B (x2; y2). Правильно выписывайте координаты - это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.

2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Дx = x2 − x1 и приращение функции Дy = y2 − y1.

. Наконец, находим значение производной D = Дy/Дx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента - и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки - иначе задача составлена некорректно.

· Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Решение

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:Дx = x2 − x1 = −1 − (−3) = 2; Дy = y2 − y1 = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Дy/Дx = 4/2 = 2.

Ответ: 2 Задача На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Решение

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения: Дx = x2 − x1 = 3 − 0 = 3;

Дy = y2 − y1 = 0 − 3 = −3. Теперь находим значение производной:

= Дy/Дx = −3/3 = −1. Ответ: −1 Задача

математический интеграл геометрический

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Решение

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения: Дx = x2 − x1 = 5 − 0 = 5; Дy = y2 − y1 = 2 − 2 = 0. Осталось найти значение производной: D = Дy/Дx = 0/5 = 0.

Ответ: 0

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать -

Похожие работы