Читать реферат по авиации и космонавтике: "Ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена" Страница 1

назад (Назад)скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Реферат

на тему:

Ймовірнісний зміст

нерівності Йєнсена. Нові інформаційні технології в освіті неможливі без нової інформації в конкретних навчальних дисциплінах. В останні роки невпинно зростає кількість прихильників виховання ймовірнісного світогляду школярів і студентів, що вивчають математичні дисципліни. При цьому дуже важливу роль відіграють приклади проникнення ймовірнісних ідей, методів і результатів у неймовірнісні розділи математики. Про один з таких прикладів йде мова у цій роботі.

Нерівністю Йєнсена в математиці називають нерівність:

,

(1)

де- опукла на проміжкуфункція, а- довільні числа з цього проміжку, при цьому нерівність перетворюється в рівність у випадках, колиі коли- лінійна функція. Якщо функція угнута в , то нерівність Йєнсена записують так:

,

(2)

де- середнє арифметичне чисел ;- середнє арифметичне чисел. В загальному вигляді нерівність Йєнсена містить замість середніх арифметичних середні зважені. Тобто

,

(3)

,

(4)

деі

(5)

Треба підкреслити, що нерівність Йєнсена має багато важливих застосувань [1-5]. Зауважимо, що в дискретній формі нерівність була встановлена О.Гельдером (Hölder, 1889), а інтегральна нерівність – Й.Йєнсеном (Jensen, 1906).

Інтегральну нерівність для угнутої функції записують так:

,

(6)

денаі.

(7)

Нагадаємо, що функціяназивається опуклою (угнутою) в , якщо

,

(8)

(9)

для довільних ,; при цьому рівність у співвідношеннях досягається у випадках, колиі коли- лінійна функція.

Треба зауважити, що є різні способи доведення (обґрунтування) нерівності Йєнсена. Так, в [1, 2] використовується метод Коші; доведення в [3] спирається на фізичне поняття центра мас системи матеріальних точок; в [4] нерівність Йєнсена отримана з формули Тейлора за умови, що функціямає вдругу похідну; в [5] запропоновано доведення нерівності Йєнсена при умові, що опукла (угнута) вфункціядиференційована в цьому проміжку.

Цікаво встановити ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена. Зрозуміло, що ми маємо справу з випадковими величинами вже в означеннях для опуклої (8) та угнутої (9) функцій. Фактор випадковості обумовлений довільністю вибору точок ,на проміжку . Таким чином, можна вважати , що- випадкова величина,- функція випадкового аргумента. При цьому для вибірки без повторень з об'ємомдискретний розподіл має вигляд:

(10)

З точки зору теорії ймовірностей в означеннях (8) і (9) порівнюються математичне сподівання (вибіркове середнє) функції і значення функції від математичного сподівання аргумента (рис.1).

Рис.1. До означення опуклої (а) та угнутої (б) функцій.

Для опуклої функції будь-яка точка дугирозташована вище відповідної точки хорди , для угнутої функції – навпаки. Якщо функціялінійна, то математичне сподівання функції співпадає з функцією математичного сподівання випадкового аргумента, а точкавідповідає середині відрізка . Таким чином, рівність у співвідношеннях (8) і (9) досягається у двох випадках: колиі коли- лінійна функція.