Реферат
на тему:
Ймовірнісний зміст
нерівності Йєнсена. Нові інформаційні технології в освіті неможливі без нової інформації в конкретних навчальних дисциплінах. В останні роки невпинно зростає кількість прихильників виховання ймовірнісного світогляду школярів і студентів, що вивчають математичні дисципліни. При цьому дуже важливу роль відіграють приклади проникнення ймовірнісних ідей, методів і результатів у неймовірнісні розділи математики. Про один з таких прикладів йде мова у цій роботі.
Нерівністю Йєнсена в математиці називають нерівність:
, | (1) |
де- опукла на проміжкуфункція, а- довільні числа з цього проміжку, при цьому нерівність перетворюється в рівність у випадках, колиі коли- лінійна функція. Якщо функція угнута в , то нерівність Йєнсена записують так:
, | (2) |
де- середнє арифметичне чисел ;- середнє арифметичне чисел. В загальному вигляді нерівність Йєнсена містить замість середніх арифметичних середні зважені. Тобто
, | (3) |
, | (4) |
деі | (5) |
Треба підкреслити, що нерівність Йєнсена має багато важливих застосувань [1-5]. Зауважимо, що в дискретній формі нерівність була встановлена О.Гельдером (Hölder, 1889), а інтегральна нерівність – Й.Йєнсеном (Jensen, 1906).
Інтегральну нерівність для угнутої функції записують так:
, | (6) |
денаі. | (7) |
Нагадаємо, що функціяназивається опуклою (угнутою) в , якщо
, | (8) |
(9) |
для довільних ,; при цьому рівність у співвідношеннях досягається у випадках, колиі коли- лінійна функція.
Треба зауважити, що є різні способи доведення (обґрунтування) нерівності Йєнсена. Так, в [1, 2] використовується метод Коші; доведення в [3] спирається на фізичне поняття центра мас системи матеріальних точок; в [4] нерівність Йєнсена отримана з формули Тейлора за умови, що функціямає вдругу похідну; в [5] запропоновано доведення нерівності Йєнсена при умові, що опукла (угнута) вфункціядиференційована в цьому проміжку.
Цікаво встановити ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена. Зрозуміло, що ми маємо справу з випадковими величинами вже в означеннях для опуклої (8) та угнутої (9) функцій. Фактор випадковості обумовлений довільністю вибору точок ,на проміжку . Таким чином, можна вважати , що- випадкова величина,- функція випадкового аргумента. При цьому для вибірки без повторень з об'ємомдискретний розподіл має вигляд:
(10) |
З точки зору теорії ймовірностей в означеннях (8) і (9) порівнюються математичне сподівання (вибіркове середнє) функції і значення функції від математичного сподівання аргумента (рис.1).
Рис.1. До означення опуклої (а) та угнутої (б) функцій. |
Для опуклої функції будь-яка точка дугирозташована вище відповідної точки хорди , для угнутої функції – навпаки. Якщо функціялінійна, то математичне сподівання функції співпадає з функцією математичного сподівання випадкового аргумента, а точкавідповідає середині відрізка . Таким чином, рівність у співвідношеннях (8) і (9) досягається у двох випадках: колиі коли- лінійна функція.