Читать практическое задание по математике: "Двойной интеграл в полярных координатах" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Пусть в двойном интеграле(1) при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая

Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и  = i (лучи) (рис.1).Введем обозначения:rj = rj+1 - rj, i = i+1 - i Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rji и rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна: Si = rj i rj (3) Что касается ячеек Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать. В качестве точки Mij  Sij для простоты выберем вершину ячейки Sij с полярными координатами rj и i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:

И следовательно,

f(xij,yij) = f(rj cos i, rj sin i)(3')

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемыминтегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем: (4) где d - максимальный диаметр ячеек Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Or. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функцииf(r cos, r sin)r, соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами i и ri. Следовательно(5) Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно (6) ВыражениеdS = r d dr называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7). Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствамиГде r1(), r1() - однозначные непрерывные функции на отрезке [,]. (рис 2). Имеем (8) Где F(r,) = rf(r cos, r sin) Пример 1. Переходя к полярным координатам  и r, вычислить двойной интеграл Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3). Так както применяя формулу (6), получим Область S определенаНеравенствамиПоэтому на основании формулы (8) имеем Пример 2. В интеграле (9) перейти к полярным координатам. Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4). В полярных координатах уравненияэтих прямых записываютсяследующим образом: =0, =/4, r cos=1 и,следовательно, область S определяется неравенствами Отсюда на основании формул (6) и(8), учитывая, что имеем

Похожие работы