БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
Методы численного анализа
Приближенное вычисление интегралов МИНСК - 2014
Постановка задачи 1. Построить квадратурную формулу максимально возможной степени точности вида.
2. Определить алгебраическую степень точности указанной квадратурной формулы.
квадратурный формула алгебраический интеграл
3. Используя правило Рунге, провести сравнительный анализ квадратурных формул средних прямоугольников и трапеций на примере вычисления интеграла .
. Вычислить с точностьюинтеграл .
. Найти с точностьюрешение уравнения .
Решение
Задача №1
Построить квадратурную формулу максимально возможной степени точности вида
.
Построим систему линейных уравнений вида:
Получим:Решение этой системы будет следующим: , , , .
Таким образом, квадратурная формула максимально возможной степени точности будет иметь вид: Примечание: вычисления проводились вручную.
Задача №2
Определить алгебраическую степень точности указанной квадратурной формулы
.
Значение правой части | Значение левой части | |
1 | 2 | 2 |
0 | 0 | |
0 | 0 | |
0 | 0 |
Из таблицы видно, что АСТ указанной квадратурной формулы равна 5.
Примечание: вычисления проводились вручную.
Задача №3
Используя правило Рунге, провести сравнительный анализ квадратурных формул средних прямоугольников и трапеций на примере вычисления интеграла .
Формула средних прямоугольников:
.
Формула трапеций:
. Правило Рунге:
точность достигнута и приближенное значение будет .
Критерий сравнения | КФ средних прямоугольников | КФ трапеций |
Кол-во узлов в простой КФ | 1 | 2 |
Класс функции | ||
Число итераций, необходимых для достижения точности | 4 | 5 |
Шаг, необходимый для достижения точности | 0,125 | 0,0625 |
Приближенное значение интеграла (точность = ) | 0,478441 | 0,479534 |
Число итераций, необходимых для достижения точности | 11 | 11 |
Шаг, необходимый для достижения точности | ||
Приближенное значение интеграла (точность = ) | 0,4791634314 | 0,4791635669 |
Вывод: из таблицы мы видим, что квадратурная формула средних прямоугольников использует меньше узлов, чем квадратурная формула трапеций (количество узлов на единицу меньше). Этот факт дает нам понять о том, что число арифметических операций, затрачиваемых на выполнение одной итерации, у квадратурной формулы средних прямоугольников меньше, чем у квадратурной формулы трапеций. У обеих квадратурных формул функция является дважды дифференцируемой, поэтому требуемая точность достигается приблизительно одинаково. Но на практике квадратурная формула средних прямоугольников незначительно быстрее достигает требуемой точности, чем квадратурная формула трапеций, если
Похожие работы
Тема: Приближенное вычисление определенных интегралов |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Приближенное вычисление определенных интегралов |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Приближенное вычисление определенных интегралов |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Приближенное вычисление определенных интегралов |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Приближенное вычисление двойных интегралов |
Предмет/Тип: Математика (Курсовая работа (т)) |
Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы