Читать практическое задание по физике: "Комп’ютеризовані системи цифрової обробки сигналів" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Міністерство освіти і науки України

Національний університет “Львівська політехніка

Кафедра АСУ

Лабораторна робота з дисципліни:

“Комп’ютеризовані системи цифрової обробки сигналів”

на тему: Ряд Фур’є

Львів - 2015

Мета: Вивчити спектри найпростіших сигналів.

Теоретичні відомості:

В ряд Фур’є можуть бути розкладені періодичні сигнали. При цьому вони представляються у вигляді суми гармонічних функцій або комплексних експонент з частотами, що утворюють арифметичну прогресію. Для того щоб такий розклад існував, фрагмент сигналу довжиною в один період повинен задовольняти умови Дирихлє:

Не повинно бути розривів другого роду (з відгалуженнями функцій, що уходять в нескінченність);

Число розривів першого роду (скачків) повинно бути скінченним;

Число екстремумів повинно бути скінченним (в якості приклада функції, яка на останньому інтервалі має нескінченне число екстремумів, можна привести sin(1/x) в околі нуля).

В залежності від конкретної форми базисних функцій розрізняють декілька форм запису ряду Фур’є.

Синусно-косинусна форма:

В цьому варіанті ряд Фур’є має наступний вигляд: (2.1)

Тут- кругова частота, що відповідає періоду повторення сигналу рівному T. Частоти, що входять до формули і кратні круговій частоті, називаються гармоніки та нумеруються в залежності від індексу k; частотаназивається k - ою гармонікою сигналу. Коефіцієнти рядутарозраховуються за формулами:

,

.

Константарозраховується за загальною формулою для . Заради цієї загальності і введена трохи дивна на перший погляд форма запису постійного доданку (з діленням на два). Сам же доданок представляє собою середнє значення сигналу на періоді:

.

Зауваження: Межі інтегрування не обов’язково повинні бути такими, як в наведених вище формулах (віддо ). Інтегрування може виконуватися за будь-яким інтервалом довжиною Т - результат від цього не зміниться. Конкретні межі вибираються для зручності обчислення; наприклад, може здатися зручніше виконати інтегрування від 0 до Т чи від -Т до 0.

Якщоє парною функцією, то всібудуть рівними нулю і в формулі ряду Фур’є будуть присутні тільки косинусні складові. Якщо жє непарною функцією, нулю будуть дорівнювати, навпаки, косинусні коефіцієнтиі в формулі залишаться тільки синусні складові.

Дійсна форма:

Деяка незручність синусно-косинусної форми ряду Фур’є полягає в тому, що для кожного значення індексу додавання (тобто для кожної гармоніки з частотою ) в формулах фігурують два доданки - синус і косинус. Скориставшись формулами тригонометричних перетворень, суму цих двох доданків можна трансформувати в косинус тієї ж частоти з іншою амплітудою та деякою початковою фазою:

(2.2)

Якщо є парною функцією фазиможуть приймати тільки значення 0 та , а якщо- функція непарна, то можливі значення для фази рівні .

Комплексна форма:

Дана форма представлення ряду Фур’є найбільш часто використовується в радіотехніці. Вона одержується з дійсної форми представлення косинуса у вигляді напівсуми комплексних експонент (таке представлення витікає з формули Ейлера :

.

Похожие работы