Читать практическое задание по математике: "Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

Исследуем условие и скорость сходимости числовой последовательности {C n} при n. Напомним определение скорости сходимости. Последовательность {Cn}, сходящаяся к пределу С*, имеет скорость сходимости порядка , если при n выполняется условие (5) Допустим, что имеет непрерывную производную, тогда погрешность на (n+1)-м итерационном шаге n+1=Cn+1-C*=g(Cn)-g(C*) можно представить в виде рядаn+1  Cn+1 – C* = g(C*) (Cn-C*) + g(C*) n+ Таким образом, получаем, что при выполнении условия g(C*)  (6) последовательность (3) будет сходиться к корню с линейной скоростью . Условие (6) является условием сходимости метода простой итерации. Очевидно, что успех метода зависит от того, насколько удачно выбрана функция .

Например, для извлечения квадратного корня, т. е. решения уравнения вида x =a2, можно положитьx=g1(x)=a/x(7а) или

x=g2(x)=(x+a/x)/2.(7б) Нетрудно показать, чтоg1'(C)=1,

g2'(C)0.Рис. 2. Графическая интерпретация метода простых итераций для решения уравнения вида x=g(х). Построение нескольких последовательных приближений по формуле (3)С0, С1, …, Сn = C*

приведено на рисунке 2.2.3 Метод Ньютона В литературе этот метод часто называют методом касательных, а также методом линеаризации. Выбираем начальное приближение С0. Допустим, что отклонение С0 от истинного значения корня С* мало, тогда, разлагая f(C*) в ряд Тейлора в точке С0 , получим f(C*) = f(C0) + f (C0) (C*-C0) + (8) Если f (C0)  0 , то в (8) можно ограничится линейными по C =C-C0 членами. Учитывая, что f(C*)=0, из (9) можно найти следующее приближение для корняC1 = C0 – f (C0) / f(C0) или для (n+1)-го приближенияCn+1= C n – f (C n) / f (C n)(9) Для окончания итерационного процесса можно использовать одно из двух условийCn+1 – Cn   илиf(Cn+1)  . Исследование сходимости метода Ньютона проводится аналогично предыдущему случаю. Самостоятельно получить, что при выполнении условияf ''(C)/2f'(C)

Похожие работы