Читать поиск информации по математике: "Числові послідовності. Границя, основні властивості границь. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх властивості" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Пошукова робота на тему:

Числові послідовності. Границя, основні властивості границь. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх властивості. Формулювання теореми про існування границі монотонної послідовності і функції. Порівняння величин. Еквівалентні нескінченно малі величини.

План

· Числові послідовності.

· Границя, основні властивості.

· Границя монотонної послідовності і функції.

· Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх властивості.

· Порівняння величин.

· Еквівалентні нескінченно малі величини. Числові послідовності

1. Означення числової послідовності

Дамо означення нескінченної числової послідовності та опишемо деякі з них.

Означення. Нескінченною числовою послідовністю називається сукупність чисел, кожному з яких присвоєно певний порядковий номер

                                                                     (5.1)

де числа  - члени послідовності, відповідно, перший, другий і т.д.; - - й, або загальний член послідовності.

Числову послідовність записують або у вигляді ряду чисел  (5.1) або у вигляді   Числова послідовність вважається заданою, якщо вказано закон або правило, за допомогою якого кожному натуральному числу ставиться у відповідність дійсне число Опишемо основні способи задання цього правила.

Спосіб 1. Правило може бути задане формулою, якою задається загальний член послідовності

Приклади.

1. Відповідна числова послідовність має вигляд

.

2.    Дана  послідовність має вигляд   .

Спосіб  2. При заданні послідовності задають кілька її початкових членів і правило (майже завжди це формула) утворення -го члена за допомогою попередніх членів. Такий спосіб називається рекурентним.

Наприклад, нехай   Так задано послідовність  .

Спосіб 3. У деяких випадках може бути невідома формула загального члена послідовності, і також не задано рекурентне співвідношення, а послідовність задається словесно. Наприклад, нехай є десятковим наближенням квадратного кореня із  з надбавкою з точністю до Тоді перші члени цієї послідовності мають вигляд: Геометрично члени послідовності зображаються точками на числовій осі.

Серед числових послідовностей в окремий клас виділяють монотонні послідовності, що об’єднують в собі зростаючі, спадні , неспадні,   не зростаючі послідовності.

Означення . Послідовність називається зростаючою, якщо кожний її наступний член більший від попереднього, тобто  для кожного

Приклад. У послідовності    кожний наступний член більший від попереднього. Отже, задана послідовність є зростаюча.

Означення . Послідовність називається неспадною, якщо  для кожного

Приклад. Якщо покласти    (означає функцію рантьє), то дістанемо неспадну послідовність .

Означення . Послідовність називається спадною, якщо

 для кожного

Приклад. Послідовність   є спадна.

Означення . Послідовність називається незростаючою, якщо для кожного .

Приклад . Якщо взяти то дістанемо незростаючу послідовність.

Для дальшого вивчення числових послідовностей слід ввести поняття обмежених і необмежених послідовностей.

Означення . Послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує дійсне число

Похожие работы