Читать поиск информации по математике: "Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Приклади первісних, що не є елементарними функціями" Страница 1

План

Інтегруваннявиразів, щомістять тригонометричніфункціїІнтеграливигляду ІнтеграливиглядуІнтеграливигляду

·        Інтеграли вигляду 

Інтеграливигляду(- ціле, додатнечисло)Інтеграливигляду

8.3.9. Інтегрування трансцендентних функцій а) Усі інтеграли вигляду інтегруються в замкненому вигляді. Тут  - символ раціональної функції. Справді, підстановка зводить цей інтеграл до виглядуПриклад.За допомогою заміниінтеграл перетворюється в такий :б) Як уже зазначалося, інтегрализводяться до розглядуваного. Тому інтеграл нас цікавить не тільки сам по собі, а й  у зв’язку з тим, що й інші інтеграли зводяться до нього.Усі інтеграли типуінтегруються в замкненому вигляді. Підстановка перетворює інтеграл у такий:тобто до інтеграла, розглянутого в п.9.8.Ймовірно, що способи інтегрування заданого інтеграла в розумінні більшої або меншої трудності залежатимуть від характеру функції: парна чи непарна вона за змінною або, або і і , або, можливо, і не володіє цими властивостями. Нехай  Очевидно, що в цьому випадку її можна подати  у форміЯкщотоТому Звідси випливає така підстановка:, тобто  - раціональна функція. Отже, якщо в разі замінинапідінтегральна функція змінює знак, то доцільно є підстановка. Цілком аналогічно, якщо в разі заміни на  то доцільною є підстановка . Розглянемо тепер випадоктобто функціяє парною як за, так і за. Очевидно, що.Якщо тепер знаки i замінити на протилежні, то, тобто  є парною за, тому. Вважаючи, що, одержимоПідстановка зведе інтеграл до виглядуОтже, у випадку доцільною є заміна змінної.Оскільки        , ,                      (8.26)то, тобто підстановка перетворить інтеграл до вигляду .Якщо не задовольняє жодну із розглянутих умов, то інтегрується за допомогою підстановки. Практично інтегруючи функціюперш за все варто встановити, чи задовольняє вона хоча б одну з умовчи ні. Лише тоді, коли вона не задовольняє жодну, доцільно використати заміну, яку називають універсальною. Приклад. 1.  Оскільки в разі заміни наі  напідінтегральна функція не змінює знака, то підстановка зведе інтеграл до вигляду Приклад 2..Цей інтеграл не задовольняє жодної з указаних умов. Тому слід використати підстановку , яка зведе інтеграл до вигляду  .  Якщо, то. Якщо, то При. При. Приклад 3.. Підстановка. З її допомогою інтеграл перетвориться в . в) Усі інтеграли вигляду  де- раціональна функція, інтегруються в замкненому вигляді. Цей висновок випливає з п.9.4. г) Інтеграли вигляду ( - ціле, додатне число) можна проінтегрувати відповідно за допомогою підстановокВ результаті матимемоАналогічно обчислюється і другий інтеграл. д) Інтеграли вигляду де - цілі невід’ємні числа, обчислюються, використовуючи формули тригонометрії для пониження степеня:                 (8.27) ТодіПіднісши до степеня і розкриваючи дужки, одержимо інтеграли, що містять в парних і непарних степенях. Інтеграли з непарними степенями обчислюються, як показано у випадку  б). Парні показники степенів знову понижуємо за формулами (9.13). Продовжуючи так, дійдемо до інтегралів які