Читать поиск информации по математике: "Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Пошукова робота на тему:

Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних.

План

Основні теореми диференціального численняТеорема РолляТеорема ЛагранжаТеорема КошіПравило ЛопіталяФормула Тейлора для многочленаФормула Тейлора для довільної функціїФормула Тейлора для функції двох змінних

6.12. Основні теореми диференціального числення

У курсі математичного аналізу одне з центральних місць займають так звані теореми про середнє значення, до яких належать теореми Ролля, Лагранжа і Коші. В цих теоремах йдеться про те, що коли функція та її похідна першого порядку задовольняють певним умовам, то всередині інтервалу  знайдеться точка, в якій функція має певні властивості (про ці властивості йдеться в теоремі). Тому й самі теореми називають теоремами про середнє.

6.12. 1. Теорема Ролля

            Теорема. Нехай функція  задовольняє умовам:

            1) визначена і неперервна на відрізку :

            2) диференційована в інтервалі ;

            3) на кінцях відрізка набуває однакових значень: .

            Тоді всередині інтервалу  знайдеться хоча б одна точка  в якій .

            Д о в е д е н н я.   

Випадок 1.  Функція  на відрізку  є сталою:

            .

            Тоді , тобто в кожній точці  похідна дорівнює нулю, а тому за точку  можна взяти будь-яку точку інтервалу і для цієї точки теорема буде справедлива.

            Випадок 2.  Функція  не є тотожною сталою на відрізку . Оскільки  за умовою теореми не є неперервною, то вона на відрізку  набуває найбільшого і найменшого значень. Позначимо найбільше значення через , а найменше – через . Зрозуміло, що в розглянутому випадку .

            Через те, що , то хоча б одне з чисел  або досягається функцією всередині інтервалу . Нехай, наприклад, число  досягається функцією всередині інтервалу , тобто існує хоча б одна точка, позначимо її , в якій

.

Покажемо, що .

Справді, оскільки  є найменше значення функції  на відрізку , то це число буде найменшим і серед значень функції, які вона набуває для всіх  з деякого досить малого околу точки . Позначимо цей окіл через .

Тоді для всіх  справджуватимуться нерівності

                 при     ,

                 при     .

            Розглянемо відношення       , для якого справедливі нерівності

                     при     ,

                       при     ,

причому .

            Перейдемо в цих нерівностях до границі, коли . Тоді границя відношення, яке стоїть в лівій частині нерівностей, існує і дорівнює похідній , тому

,       .

Звідси випливає, що . Теорему доведено

            З’ясуємо геометричний зміст теореми Ролля (рис.6.9):

            1) графік функції є суцільна лінія (- неперервна на відрізку);

            2) крива, що є графіком функції, є гладкою кривою (крива називається гладкою, якщо в кожній її точці можна провести дотичну);

            3) крайні точки графіка знаходяться на однаковій висоті від .

6.12. 2.  Теорема Лагранжа

            Теорема. Якщо функція : 1) задана і неперервна на відрізку ; 2) диференційована в інтервалі , то тоді всередині інтервалу  знайдеться хоча

Похожие работы