Читать поиск информации по математике: "Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема Абеля" Страница 1

назад (Назад)скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Пошукова робота на тему:

Функціональний ряд, область його збіжності. Cтепеневі ряди. Теорема Абеля. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду. Степеневі ряди за степенями (x-a)

План

    Функціональний ряд.Область збіжностіРівномірна збіжністьСтепеневі рядиТеорема АбеляІнтервал і радіус збіжності степеневого рядуРяди за степенями

1. Функціональні ряди

1.1. Функціональні ряди. Область збіжності

            Ряд  

                                      (13.22)

називається функціональним, якщо його члени є функціями від  Надаючи  певного числового значення, ми одержимо різні числові ряди. Одні з них можуть бути збіжними, інші – розбіжними.

            Означення. Сукупність тих значень  при яких ряд (13.22) збігається, називається областю збіжності функціонального ряду.

            Очевидно, що в області збіжності ряду його сума є деякою функцією від . Тому його суму будемо позначати через

            Через  позначимо частинну суму ряду (13.22), тобто суму  перших його членів

                                 (13.23)

Тоді

                      ,                              (13.24)

де

і називається залишком ряду. Для всіх значень  в області збіжності ряду має місце співвідношення а тому

                                (13.25)

тобто залишок збіжного ряду прямує до нуля при  

       Приклад. Знайти область збіжності ряду .

            Р о з в ‘ я з о к. Для знаходження області збіжності даного функціонального ряду використаємо радикальну ознаку Коші

. Ряд збігається при тих

значеннях  при яких ця границя менша за одиницю, тобто

       Дослідимо збіжність ряду на кінцях проміжку, тобто при   і .

При :  ряд розбігається.

При :       ряд розбігається.

Областю збіжності даного ряду є проміжок 

1.2. Рівномірна збіжність

            Означення. Функціональний ряд (13.22), збіжний для всіх  із області , називається рівномірно збіжним в цій області, якщо для довільного як завгодно малого числа  існує такий незалежний від  номер  що при   нерівність

                 або                    (13.26)

виконується одночасно для всіх  із

            Приклад 1. Розглянемо прогресію 

вона збігається в відкритому проміжку  Для довільного  із  залишок ряду має вигляд:

            Якщо  довільно зафіксувати, то, очевидно: Це показує, що здійснити для всіх одночасно нерівність

      (якщо )

при одному й тому ж номері  неможливо. Отже, збіжність прогресії

в проміжку  нерівномірна; це ж відноситься і до проміжків   і  зокрема.

            Приведемо без доведення ознаку рівномірної збіжності ряду (13.22).

            Ознака рівномірної збіжності. Для того, щоби ряд (13.22) рівномірно збігався в області  необхідно і достатньо, щоби для кожного числа  існував такий не залежний від  номер  що при  і довільному  нерівність

         (13.27)

буде мати місце для всіх  із  одночасно.

            Для встановлення на практиці рівномірної збіжності рядів користуються більш зручнішими в застосуванні достатніми ознаками, наприклад ознакою Вейєрштрасса.

            Ознака


Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы