Читать поиск информации по математике: "Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Метод найменших квадратів" Страница 1

назад (Назад)скачать (Cкачать работу)

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Пошукова робота на тему:

Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Метод найменших квадратів.

План

    Умовний екстремумНеобхідні умовиМетод множників ЛагранжаЗнаходження функції на основі експериментальних даних за методом найменших квадратів

1. Умовний екстремум

            У попередніх параграфах були розглянуті максимуми і мінімуми функції в припущенні, що ті змінні, від яких функція залежить, є незалежними. В цих випадках максимуми мінімуми називаються безумовними. Але у багатьох задачах потрібно знаходити екстремуми функції, аргументи якої задовольняють деяким додатковим умовам – зв’язку. В цих випадках аргументи функції не є незалежними. Екстремуми такого типу називаються умовними. Як приклад, наведемо задачу про знаходження екстремуму функції

за умови, що її аргументи задовольняють умові зв’язку

.

            У даній задачі екстремуми функції знаходять не на всій площині, а лише на прямій .

            Нехай потрібно знайти максимуми і мінімуми функції

                                                                        (6.89)

при

                                                                        (6.90)

            За наявності умови (6.90) із двох змінних  і  незалежною буде лише одна, наприклад , оскільки визначається із рівності (6.90) як функція . Якщо із (6.90) знайти явну залежність  від   і підставити її в (6.89), то одержимо функцію однієї змінної , яку потрібно дослідити на екстремум. Але розв’язання рівняння (6.90) відносно однієї із змінних може бути важким або взагалі неможливим. Тому зупинимося на особливому методі розв’язання задачі на умовний екстремум – методі невизначених множників Лагранжа.

У точках екстремуму похідна  має дорівнювати нулю. Враховуючи, що  є функція від , знаходимо         .

Отже, в точках екстремуму

                                   .                             (6.91)

Із рівності (6.90) маємо

                                                               (6.92)

            Домножимо рівність (6.92) на невизначений множник  і додамо її з рівністю (6.91), одержимо

.

або

                                      (6.93)

             (6.93) перетворювалася на нуль: Рівність (6.93) виконується в усіх точках екстремуму. Доберемо множник  так, щоб в точках екстремуму функції  друга дужка у рівності

.

            Тоді в точках екстремуму виконуються три рівняння:

                                                            (6.94)

з трьома невідомими . Із системи (6.94) визначаємо  і , що відіграє лише допоміжну роль і в подальшому не потрібне.

            Ліві частини рівнянь (6.94) є частинними похідними функції

,

яка називається функцією Лагранжа. Система (6.94) співпадає з умовами безумовного екстремуму функції .

Із виводу рівнянь (6.94) випливає, що вони є лише необхідними умовами умовного екстремуму.

            Зауваження. Описаний метод поширюється  на дослідження умовного екстремуму функції будь-якого числа змінних.

            Нехай потрібно знайти максимуми і мінімуми функції  змінних

за умови, що змінні зв’язані  рівняннями:

                        (6.95)

Складемо функцію Лагранжа


Интересная статья: Быстрое написание курсовой работы