Читать поиск информации по математике: "Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин." Страница 1

План

Схемизастосуванняінтеграладо знаходженнягеометричнихі фізичнихвеличинОбчисленняплощі плоскоїфігуриОбчисленняплощі в декартовихкоординатахПлоща криволінійногосектора вполярнихкоординатах

ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА 1. Площа  плоскої фігури 1.1. Обчислення площі в декартових координатахВ п.9.2. мова йшла про те, коли розглядається площа криволінійної трапеції, обмеженої віссюкривою  причому на відрізку може бути як додатною, так і від’ємною, то площа такої криволінійної трапеції обчислюється за формулою                                                        (10.1)Нехай у прямокутній системі координат фігура  (рис.10.1) обмежена кривимиВиділимо у фігурі смужку шириною. Її довжина дорівнюватиме. Тоді площа смужки.ЗвідсиОтже,                                                     (10.2)                 Рис.10.1                                       Рис.10.2                     Обчислимо тепер площу криволінійної трапеції у випадку, коли крива задана рівняннями в параметричній формі                                          (10.3)Нехай рівняння (10.3) визначають деяку функцію на відрізкуа тому площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою            Зробивши заміну в цьому інтегралі і враховуючи, що одержимо                                        (10.4) 1.2. Площа криволінійного сектора в полярних координатахНехай криві, що обмежують фігуру,  задані рівнянням в полярній системі координат і відрізками двох полярних радіусів (рис. 10.2) .Знайдемо площу фігуриякщо: ,            У фігурі виділимо сектор з центральним кутом Вважатимемо, що дуги, які обмежують сектор, є дугами кіл радіусів. Очевидно, що площа сектора між дугами i дорівнює Інтегруючи, одержимо                                                                     (10.5)Приклад 1. Знайти площу фігури, обмеженої  гіперболою, віссю і прямою, яка з’єднує точку, що лежить на гіперболі, з початком координат.Р о з в ’ я з о к. З рівняння гіперболи маємоЩоб знайти площу заштрихованої на рис.10.3  фігури, досить знайти площу фігури  , а потім від площі трикутника   відняти площу фігури.Отже,.Найкращим методом для обчислення цього інтеграла є інтегрування частинами. В результаті інтегрування дістанемо Оскількито.            Цікаво, що цю площу можна записати у вигляді                Рис.10.3                                     Рис.10.4 ,де - функція, обернена відносно функції.Пропонується переконатися в цьому самостійно.Приклад 2. Знайти площу фігури, обмеженої кривою.Р о з в ’ я з о к. Перейшовши в цьому рівнянні до прямокутної системи координат, легко встановити, що відповідна крива є  центрально-симетричною відносно системи координат. Крім того, із заданого рівняння видно, що , тобто крива повністю знаходиться всередині кола радіуса з центром в початку координат, що дотикається вона до кола лише в точках, проходить через початок координат при, дотикаючись до прямих. Отже графік заданої функції має вигляд чотирипелюсткової троянди (рис. 10.4). Очевидно, що для обчислення площі досить