Читать поиск информации по математике: "Неперервність функції в точці і в області.Дії над неперервними функціями" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Пошукова робота на тему:

Неперервність функції в точці і в області.Дії над неперервними функціями. Формулювання основних властивостей функцій, неперервних в замкнутій області. Точки розриву функції та їх класифікація. Павутинні моделі ринку.

План

Неперервність функції в точці та в області.Дії над неперервними функціями.Основні властивості функцій, неперервних на відрізу, в обмеженій замкнутій області.Точки розриву та їх класифікація.Павутинні моделі ринку.

1. Неперервність функцій.

Розриви функції та їх класифікація

            Означення 1.  Функція  називається неперервною в точці :

            1)  якщо функція , визначена в точці ;

            2) якщо існує границя  в точці ;

            3) якщо границя функції дорівнює значенню функції в цій точці, тобто         .

            Разом всі ці умови є необхідними і достатніми для того, щоб функція була неперервною в точці . В дальшому будемо користуватися і таким означенням неперервності функції.

            Означення 2.  Функція  називається неперервною в точці , якщо для будь-якого як завгодно малого числа  існує таке число , що для всіх точок , які задовольняють нерівності , виконується нерівність .

            На практиці при дослідженні функції на неперервність часто користуються означенням неперервності функції, яке базується на понятті приросту функції в точці.

            Нехай функція  визначена в усіх точках деякого проміжку . Візьмемо дві довільні точки з цього проміжку 

і ,  де .

            Тоді число  називається приростом аргументу, а число - приростом функції  в точці .

            Нехай в деякій (відкритій) області задана функція двох змінних . Візьмемо довільну точку  цієї області і надамо  приросту , залишаючи значення незмінним.

            При цьому функція  одержить приріст

, який називається частковим приростом цієї функції за .

            Аналогічно, вважаючи  постійною і надаючи  приросту , одержимо частинний приріст от функції  за :        .

            Приріст називається повним приростом функції  в точці , відповідним приростfм  і  незалежних змінних.

            Означення 3.   Функція  називається неперервною в точці , якщо

.

            Легко бачити, що наведені означення неперервності функції в точці є еквівалентні між собою в тому розумінні, що коли функція  неперервна в точці за яким-небудь одним означенням, то вона неперервна і за рештою означень та навпаки.

            Будемо називати функцію  неперервною в області (замкнутій чи незамкнутій), якщо вона неперервна в кожній її точці. При цьому неперервність в будь-якій граничній точці області визначається так: функція  неперервна в граничній точці , якщо для будь-якого додатного числа  існує число  таке, що для всіх точок області , які задовольняють умові , виконується нерівність .

            Спираючись на теореми про границі і на означення неперервності легко переконатися в такому.

            Теорема.  Сума, різниця, добуток і частка від ділення двох неперервних функцій також неперервна (для частки – за винятком тих значень аргументів, що перетворюють на нуль знаменник), тобто, якщо  і  неперервні в точці , то