Читать методичка по физике: "Моделі оптимізації та розвитку електроенергетичних систем" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

Завдання полягає в знаходженні вектору змінних керування x, що забезпечують досягнення екстремуму цільової функції F(x) та и задовольняють обмеженням:

,

,

………………………

,

причому обмеження представляються у вигляді рівності.

Для розв’язку завдання необхідно сформулювати функцію Лагранжа:

,

де λi - невизначені множники Лагранжа, i = 1, 2, … , m.

Для знаходження екстремуму необхідно визначити перші похідні функції Лагранжа по x и λ та прирівняти їх до нуля:

,

.

Отримуємо n + m рівнянь з n + m невідомими. Розв’язок системи рівнянь дозволяє знайти вектор, який нас цікавить.

Особливості використання методу невизначених множників Лагранжа:

. Метод може бути застосований, якщо цільова функція має похідну. Якщо функція лінійна, застосувати метод неможливо, оскільки перші похідні є константами.

. Якщо цільова функція чи обмеження дискретні, застосовання цього методу неможливе.

. Практична можливість аналітичного диференціювання функції та алгоритмізація процесів обчислення похідних. Принципова можливість знаходження других похідних.

. Розв’язок реальних задач пов’язаний з великою розмірністю, що додатково ускладнює розвязок систем рівнянь великого порядку.

. Задача оптимізації может мати розв’язок, за умови (n − m) > 0, тобто, коли кількість змінних більша за кількість обмежень.

Якщо n = m, задача оптимізації практично неможлива та розвязується лише за обмеженнями.

Якщо n < m, задачу практично неможливо розв’язати, оскільки немає жодної точки в просторі стану, яка задовольняє всім обмеженням.

.3 Методи лінійного програмування

В дуже великому колі технічних задач показник якості виражається лінійно через параметри керування, а умови, яким мають задовольняти параметри системи, записуються у вигляді лінійних рівнянь або (та) нерівностей. Пошук екстремуму лінійного показника якості за умови, що змінні, які підлягають визначенню, задовольняють лінійним обмеженням, складає предмет лінійного програмування.

Основна задача лінійного програмування (ОЗЛП) формулюється наступним чином.

Потрібно знайти значення додатних змінних x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, … , xn ≥ 0, які задовольняють систему m лінійних рівнянь:

,

,

…………………………………… (1)

,

та при вказаних умовах лінійна функція приймала би максимум або мінімум:

. (2)

ОДЗ ОЗЛП зветься сукупність невідємних змінних x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, … , xn ≥ 0, які задовольняють систему обмежень (1).

ОЗЛП не обовязковоповинна мати розвязок. Рівняння обмежень можуть бути антагоністичними одне одному, мати розвязки у відємній області, лінійна функція може не бути обмежена знизу.

Система обмежень може бути задана у вигляді нерівностей:

,

,

…………………………………… (3)

.

Щоб перейти до ОЗЛП, необхідно ввести додаткові змінні в кожне рівняння, щоб вони перетворили дану нерівність в рівність:

,

,

…………………………………………… (4)

.

Це збільшує розмірність задачі. Чим більше нерівностей в вихідній системі рівнянь, тим більше розмірність задачі.

Виразимо додаткові змінні через змінні x1, x2, … , xn:

,

,

…………………………………………… (5)

.

Задача полягає в тому, щоб знайти невід’ємні

Похожие работы