- 1
- 2
- 3
- . . .
- последняя »
СВОЙСТВА МНОГОГРАННИКОВ
Выпуклые многогранники. Теорема ЭйлераВ школьных учебниках геометрии многогранниками обычно называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника.
Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками содержит и соединяющий их отрезок.
На рисунке 1 приведены примеры выпуклых и невыпуклых многогранников. Рассмотрим некоторые свойства выпуклых многогранников.
Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.
Доказательство. Пусть F - какая-нибудь грань многогранника M, и A, B - точки, принадлежащие грани F (рис. 2). Из условия выпуклости многогранника M, следует, что отрезок AB целиком содержится в многограннике M. Поскольку этот отрезок лежит в плоскости многоугольника F, он будет целиком содержаться и в этом многоугольнике, т.е. F - выпуклый многоугольник. Свойство 2. Выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.
Доказательство. Пусть M - выпуклый многогранник. Возьмем какую-нибудь внутреннюю точку S многогранника M, т.е. такую его точку, которая не принадлежит ни одной грани многогранника M. Соединим точку S с вершинами многогранника M отрезками (рис. 3). Заметим, что в силу выпуклости многогранника M, все эти отрезки содержатся в M. Рассмотрим пирамиды с вершиной S, основаниями которых являются грани многогранника M. Эти пирамиды целиком содержатся в M, и все вместе составляют многогранник M.
Свойство 3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.
Доказательство. Предположим противное, т.е. существуют точки A и B многогранника M, лежащие по разные стороны от плоскости некоторой его грани N (рис. 4). Рассмотрим пирамиды с вершинами в точках A, B, основаниями которых является грань N. В силу выпуклости многогранника, эти пирамиды целиком в нем содержатся. Это противоречит тому, что N является гранью многогранника M.
Для выпуклых многогранников имеет место свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером, и получившее название теоремы Эйлера.
Прежде чем его сформулировать рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таблицу, в которой В - число вершин, Р - ребер и Г - граней данного многогранника:
Название многогранника | В | Р | Г |
Треугольная пирамида | 4 | 6 | 4 |
Четырехугольная пирамида | 5 | 8 | 5 |
Треугольная призма | 6 | 9 | 5 |
Четырехугольная призма | 8 | 12 | 6 |
n-угольная пирамида | n+1 | 2n | n+1 |
n-угольная призма | 2n | 3n | n+2 |
n-угольная усеченная пирамида | 2n | 3n | n+2 |
Из этой таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2. Оказывается, что это равенство справедливо не только для
- 1
- 2
- 3
- . . .
- последняя »
Похожие работы
Тема: Основные виды многогранников и их свойства |
Предмет/Тип: Математика (Реферат) |
Тема: Сечение многогранников |
Предмет/Тип: Математика (Курсовая работа (т)) |
Тема: Сечение многогранников |
Предмет/Тип: Математика (Курсовая работа (т)) |
Тема: Сечение многогранников |
Предмет/Тип: Математика (Курсовая работа (т)) |
Тема: Панельное представление многогранников |
Предмет/Тип: Информационные технологии (Практическое задание) |
Интересная статья: Основы написания курсовой работы