Читать курсовая по математике: "Качественное исследование модели парения птиц в воздухе" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

Точки M' (θ, y) и M" (θ+2π, y) соответствуют одному и тому же состоянию системы (2.2.5), т.к. при замене θ на θ+2π система (2.2.5) не изменяется. Последнее означает, что указанные точки естественно отождествлять и в качестве фазового пространства системы (2.2.5) рассматривать не плоскость (θ, у), а цилиндр, на котором вдоль образующей откладывается значение у, а вдоль направляющей - угол θ.

Кроме фазового кругового цилиндра, исследуется также развертка этого цилиндра на плоскость. При этом будут отождествляться точки граничных прямых развертки цилиндра, так как точки граничных прямых с одинаковыми у соответствуют одним и тем же состояниям системы. В цилиндрическом фазовом пространстве динамическая система исследуется обычным образом. Как и для случая фазовой плоскости, на поверхности цилиндра рассматриваются особые точки, сепаратрисы и предельные циклы, охватывающие состояния равновесия и соответствующие периодическим решениям системы. Однако на фазовом цилиндре, помимо предельных циклов, лежащих на поверхности цилиндра и окружающих состояния равновесия, но не охватывающих самого цилиндра (такие кривые вполне аналогичны замкнутым траекториям на фазовой плоскости), может встретиться совершенно новый тип предельных циклов, окружающих не состояния равновесия, а самый цилиндр. Очевидно, что и эти замкнутые кривые соответствуют периодическим решениям системы.

Уравнения замкнутых кривых, охватывающих цилиндр, можно записать в виде , где f (θ) является 2π-периодической функцией.

Для системы (2.2.5) будет исследоваться лишь область у≥0. Этим самым исключается случай полета планера "хвостом вперед".

Исключением в системе (2.2.5) d (τ), получается дифференциальное уравнение вида . (2.3.1) Уравнение (2.3.1) определяет интегральные кривые на поверхности цилиндра и имеет решение . (2.3.2) Прямая (2.3.2) является особой фазовой траекторией системы (2.2.5) и соответствует мгновенному опрокидыванию планера из положения θ=π/2 в положение θ= - π/2 при v=0 (согласно (2.2.5) при у=0,, еслии, если). В случае а=0, когда силы сопротивления отсутствуют уравнения движения примут вид(2.3.3) Уравнение интегральных кривых (2.3.1) в этом случае будет таким:(2.3.4) Особые точки уравнения (2.3.4) находятся из системы(2.3.5) Решениями системы (2.3.5) являются: ) θ=0, у=1;

) θ=π/2, у=0;

) θ= - π/2, у=0. Состоянием равновесия системы (2.3.3) будет особая точка θ=0, у=1. Она соответствует режиму горизонтального полета планера с постоянной скоростью v=v0. Особые точки θ=π/2, у=0 и θ= - π/2, у=0 лежат на особой прямой (2.3.2), соответствующей, как уже отмечалось, мгновенному опрокидыванию планера при v=0. Они не являются состояниями равновесия системы (2.3.3), так как в этих точках .

Уравнение (2.3.4) можно записать в виде(2.3.6) Уравнение (2.3.6) является уравнением в полных дифференциалах, т.к. Находится общий интеграл уравнения (2.3.6). Имеется , а значит,

. Далее находится , т.е.. (2.3.7) Из уравнения (2.3.7) получается . Таким образом, общий интеграл уравнения (2.3.6) имеет вид . (2.3.8) Если положить, то уравнение семейства кривых (2.3.8) можно записать в виде . (2.3.9) Далее исследуется семейство кривых (2.3.9). Находится . Следовательно, точки экстремума кривых (2.3.9) лежат на параболе η=у2. Ясно, чтопри. Таким образом, при С>0 имеется, что ус

Похожие работы