Читать курсовая по математике: "Устойчивость стохастических систем" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

Стохастический интеграл Стратоновичаесть предел в среднеквадратическом сумм

Стохастическое дифференциальное уравнение Ито:

Стохастическое дифференциальное уравнение Стратоновича:

Всякое решениеуравнения Стратоновича есть также решение уравнения Ито:

Формула Ито: если и , то

Теорема существования и единственности решения стохастического дифференциального уравнения Ито.

Пусть

Тогда существует, и притом единственное, решение уравнения Ито на любом отрезке .

Производящий оператор уравнения Ито:

Теорема Хасьминского. Если существует функциятакая, что

то тривиальное решение уравнения Ито устойчиво по вероятности. Если же

то тривиальное решение уравнения Ито асимптотически устойчиво в целом по вероятности.

Устойчивость линейных систем в среднеквадратическом. Для устойчивости в среднеквадратическом системы

необходимо и достаточно существование функции , удовлетворяющей оценкам

Для асимптотической устойчивости в среднеквадратическом уравнения

необходимо и достаточно, чтобы детерминированное уравнение

было алгоритмически устойчиво и чтобы был положителен определитель

2. Определение стохастической устойчивости Вопрос об устойчивости некоторого решения уравнения (1.2) с помощью замены переменных может быть сведен к вопрос об устойчивости тривиального решения, поэтому будем считать, что (2.1) При выполнении условия (2.1) стохастическое дифференциальное уравнение

(2.2) Имеет тривиальное решениеПод устойчивостью тривиального решения этого уравнения понимается его свойство мало изменяться при малом изменении начальных условий. В зависимости от конкретного понимания выражения «малое изменения решения» возможны различные определения устойчивости:

Тривиальное решение уравнения (2.2) называется cлабоустойчивым по вероятности, если для найдется такое , что приивыполняется неравенство

асимптотически слабо устойчивым по вероятности, если оно слабо устойчиво по вероятности и длянайдется такое , что приимеет место соотношение

асимптотически слабо устойчивым по вероятности в целом, оно асимптотически слабо устойчиво по вероятности исправедливо равенство

асимптотически слабо устойчивым по вероятности в целом равномерно по начальным данным, если в предыдущем определении стремление к нулю равномерно дляи всех

Тривиальное решение уравнения (2.2) называется:

p-устойчивым (p>0), если длянайдетсятакое, что привыполняется неравенство

асимптотически p-устойчивым, если оно p-устойчиво, и дляпри некоторомимеет место соотношение

экспоненциально p-устойчивым, если найдутся такие положительные постоянные , что

асимптотически p-устойчивым в целом, если оно асимптотически p-устойчиво и длясправедливо соотношение

Кроме приведенных определений используется также понятие устойчивости с вероятностью 1. Подразумевается устойчивость, при которой все траектории системы (кроме, может быть, множества траекторий нулевой вероятности) устойчивы в соответствующем смысле.

Предположим, что тривиальное решение

Похожие работы