Читать курсовая по математике: "Теорема Миттаг–Леффлера (представление мероморфной функции)" Страница 1

(Назад) (Cкачать работу)

Теорема Миттаг-Леффлера (представление мероморфной функции) 1. Вспомогательные сведения Определение 1.1 Мероморфной функцией будем называть однозначную аналитическую функцию, не имеющую в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.

В частности, к мероморфным функциям относятся целые функции, так как они вообще не имеют никаких особых точек в конечной части плоскости, а также рациональные функции.

Другое определение мероморфной функции:

Функция f(z), отличная от тождественного нуля, называется мероморфной, если в окрестности любой конечной точки a для неё имеет место разложение f(z)=c0(z-a)r+c1(z-a)r+1+…, где r-целое число, а с0≠0.

Число r будем называть порядком нуля функции f(z) в точке a, считая тем самым, что полюс порядка s-это нуль отрицательного порядка -s.

Из определения мероморфной функции вытекают следующие свойства класса мероморфных функций:

. Любая постоянная-мероморфная функция.

. Сумма и разность двух мероморфных функций-мероморфные функции.

. Произведение и частное двух мероморфных функций-мероморфные функции.

. Рациональная функция от мероморфных функций-мероморфные функции.

В частности, отношение двух целых функций-мероморфная функция. Так каки -целые функции, то

являются мероморфными функциями.

Определение 1.2. Если мероморфная функция f(z) имеет полюсов, то она является целой функцией.

Пусть мероморфная функция f(z) имеет только конечное число полюсов

a0, a1, a2, …, и пусть

главные части в этих полюсах. Тогда

где- целая функция.

Определение 1.3. Если особая точка z=a однозначной аналитической функции f(z) не является особой точкой для функции , то точка a называется полюсом. Все другие изолированные особые точки однозначных аналитических функций будем называть существенно особыми точками.

Определение 1.4. Выясним поведение функции в окрестности полюса. Если точка a - полюс функции f(z), то в некоторой окрестности этой точки (но не в самой точке a, поскольку значения f(z) в точке a не существует) имеет место равенство

где- степенной ряд. (Считаем, что .) Согласно равенству (1) в некоторой окрестности точки a можно написать неравенство

т. е.

Отсюда видно, что , так как приточка a не была бы особой точкой для функции f(z).

Число k будем называть порядком полюса.

Когда точка z стремится к полюсу a, функции f(z), как видно из формулы(2), стремится к бесконечности, причем

- конечное число, отличное от нуля. Число k показывает, таким образом, с какой скоростью стремится к бесконечности функция в данном полюсе.

Определение 1.5. Используя равенство (2) из определения 1.4, запишем его в виде

Отсюда видно, что разность:

Разлагается в окрестности точки a в степенной ряд, т. е. не имеет особой точки при. Поэтому будем говорить, что функция имеет в точке a ту же особенность, что и многочлен от

Этот многочлен отбудем называть главной частью функции f(z) в полюсе a.

Определение 1.6. Точка a называется изолированной особой точкой функции f, если существует такая проколотая окрестность этой точки (то есть множество , если точка a конечна, или множество , если a=∞), в которой функция f голоморфна.

Определение 1.6’. В зависимости от поведения f при приближении к такой точке различают три

Похожие работы