Читать курсовая по математике: "Полунормальные подгруппы конечной группы" Страница 2

(Назад) (Cкачать работу)

Всякую факторизуемую группуможно рассматривать как группу с подгруппойи её добавлением , и как группу с подгруппойи её добавлением . Известно, что группас нормальными сверхразрешимыми подгруппамиине всегда является сверхразрешимой. Отсюда следует, что формация всех сверхразрешимых групп не является классом Фиттинга. Известны следующие случаи, ведущие к сверхразрешимости группыс нормальными сверхразрешимыми подгруппамии :

– подгруппыиимеют взаимно простые индексы;

– группаимеет нильпотентный коммутант;

– подгруппы изперестановочны со всеми подгруппами из , а подгруппы изперестановочны со всеми подгруппами из . Подобная тематика разрабатывалась и в статье А.Ф. Васильева и Т.И. Васильевой.

В настоящей дипломной работе рассматриваются следующие вопросы: строение группы с максимальной полунормальной подгруппой и группы с полунормальной силовской подгруппой; признаки дисперсивности и сверхразрешимости факторизуемых групп с перестановочными циклическими подгруппами в факторах. 1. Силовские подгруппы конечных групп По теореме Лагранжа порядок каждой группы делит порядок конечной группы. Обратное утверждение не всегда верно, т.е. если натуральное числоделит порядок конечной группы , то в группеможет и не быть подгруппы порядка .

Пример 1.1 Знакопеременная группапорядка 12 не содержит подгруппу порядка 6.

Допустим противное, пусть– подгруппа порядка 6 в группе . Тогдаи . Группасодержит подгруппы Если , тои , противоречие. Поэтому , а т. к. , то . Противоречие. Поэтому допущение не верно и группане содержит подгруппу порядка 6.

Вполне естественно возниает вопрос: для каких делителейпорядка конечной группы имеется подгруппа порядка .

Положительный ответ на этот вопросв случае, когда– степень простого числа, даёт теорема Силова. Для доказательства теоремы Силова потребуется следующая лемма.

Лемма 1.2 Если порядок конечной абелевой группыделится на простое число , то в группесуществует элемент порядка .

Доказательство. Предположим противное, т.е. допустим, что существует абелева группапорядка , простое числоделит , то в группесуществует элемент порядка . Пусть .

Еслиделитдля некоторого , то– элемент порядка , противоречие. Поэтому все элементы группыимеют порядки, не делящиеся на .

не делится на .

Так как группаабелева, то– подгруппа, и к произведениюможно применить следующее не делится на .

Затемобозначаем черези опять получаем, чтоне делится на . Через конечное число шагов приходим к выводу, чтоне делится на . Но и , т.е. получаем, чтоне делит . Противоречие. Значит, допущение неверно и лемма спарведлива.

Пусть– простое число. - Группой называют конечную группу, порядок которой есть степень числа . Конечная группа называется примарной, если она является -группой для некоторого простого .

Теорема 1.3 Error: Reference source not found. Пусть конечная группаимеет порядок , где– простое число ине делит . Тогда спарведливы следующие утверждения:

в группесуществует подгруппа порядкадля каждого ;

если– -подгруппа группыи– подгруппа порядка , то существует такой элемент , что ;

любые две подгруппы порядкасопряжены в группе

Похожие работы