Читать курсовая по математике: "Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов" Страница 3

(Назад) (Cкачать работу)

Обозначим функционалчерез ,

Очевидно, при всякомфункционаллинейный и непрерывный на , т.е. принадлежит . Поэтому, по теореме о полноте пространства , и предельный функционал .

Приведем два примера на построение продолжения .

а) Пустьфункция такая, что функциялокально интегрируема ви представляется интеграломДействительно, в этом случае функциялокально интегрируема ви, в силу теорема Лебега и Фубини, пределПри всехсуществует и не зависит от последовательности . Отсюда, в силу , и вытекает формула .

b) Пусть , где . Тогдав силу

Теорема. Если решениеуравнениядопускает продолжение , то обобщенная функцияизудовлетворяет уравнениюДоказательство. Пусть ,последовательность функций из , сходящиеся кв . Тогда припоследовательности функций ,также сходятся кви, следовательно, при всехизУчитывая , проверим, что обобщенная функцияудовлетворяет уравнению : Теорема доказана.

Изложенный метод получения решенияуравненияспеременными через решенияуравненияспеременными называется методом спуска по переменной .

Метод спуска особенно удобно использовать для построения фундаментальных решений. Действительно, применяя доказанную теорему при , получаем: еслифундаментальное решение операторадопускает продолжениевида , то обобщенная функция есть фундаментальное решение оператора ; в частности, еслитакова, что функциялокально интегрируема в , то Фундаментальные решенияиудовлетворяют соотношению Физический смысл этой формулы состоит в том, чтоесть (не зависящее от ) возмущение от источника , сосредоточенного на оси .

Фундаментальное решение линейного оператора с обыкновенными производными Фундаментальное решение этого оператора выражается формулойгдеудовлетворяет однородному уравнениюи начальным условиям ,В частности, функции

являются соответственно фундаментальными решениями операторов Фундаментальное решение оператора теплопроводности Решение уравнения выражается формулой и, следовательно, эта функция является фундаментальным решением оператора теплопроводности.

Выведем формулуметодом преобразования Фурье. Для этого применим преобразование Фурьек равенству: и воспользуемся формуламии

В результате для обобщенной функцииполучаем уравнение Пользуясь формулойс заменойна , заключаем, что решением вуравненияявляется функция Отсюда, применяя обратное преобразование Фурьеи пользуясь формулой , получаем равенство : Фундаментальное решение оператора Лапласа Фундаментальным решением оператора Лапласа является Вычислим эти фундаментальные решение уравнения методом преобразования Фурье. Применяя преобразование Фурье к равенству , получим Пусть . Проверим, что обобщенная функцияудовлетворяет уравнению . Действительно Следовательно, в соответствии со схемой из пункта 1. 2 можно положить Отсюда, пользуясь формулой преобразования Фурье приприполучаем Так как постоянная удовлетворяет однородному уравнению Лапласа, то, отбрасывая вслагаемое , убеждаемся, что фундаментальное решениеможно выбрать равным .

Пусть теперь . В этом случае

Похожие работы